Главная > Физика > Теория и задачи механики сплошных сред
<< Предыдущий параграф
Следующий параграф >>
<< Предыдущий параграф Следующий параграф >>
Макеты страниц

7.6. Потенциальное течение. Плоское потенциальное течение

Термин потенциальное течение часто используют для обозначения безвихревого движения, так как условие отсутствия вихрей является одновременно необходимым и достаточным

для существования потенциала скорости через который компоненты скорости определяются по формулам (7.35). Для безвихревого течения сжимаемой жидкости уравнения Эйлера и уравнение неразрывности в некоторых случаях могут быть линеаризованы и совместно преобразованы, как это делается в акустике, к волновому уравнению

где с — скорость звука в среде. В случае установившегося безвихревого течения сжимаемой баротропной жидкости уравнения Эйлера и уравнение неразрывности можно совместно преобразовать к следующему виду:

Это так называемые уравнения газовой динамики.

Для потенциального течения несжимаемой жидкости уравнение неразрывности сводится к уравнению Лапласа

и решение его обеспечит нахождение компонент скорости по формулам (7.35). При этом должны также удовлетворяться граничные условия для скорости, например, на неподвижной непроницаемой границе Вследствие линейности уравнения Лапласа существенной чертой этой постановки задачи является возможность использования метода суперпозиции решений.

В двумерном течении несжимаемой жидкости, параллельном плоскости уравнение неразрывности имеет вид

где, как принято в этой книге, греческие индексы принимают значения 1 и 2. В соответствии с (7.47) независимо от того, будет ли течение безвихревым, можно ввести функцию тока такую, что

Если плоское течение является к тому же еще и безвихревым, т. е.

то из равенств (7.48) и (7.49) видно, что функция тока и потенциал скоростей удовлетворяют условиям Коши — Римана:

Исключая поочередно из уравнений (7.50), легко показать, что

Таким образом, если течение безвихревое, то обе функции являются гармоническими. В силу этого можно ввести комплексный потенциал

который будет аналитической функцией комплексного переменного а его производная определяет комплексную скорость

ЗАДАЧИ С РЕШЕНИЯМИ

(см. скан)

(см. скан)

(см. скан)

(см. скан)

(см. скан)

(см. скан)

(см. скан)

(см. скан)

(см. скан)

(см. скан)

(см. скан)

(см. скан)

<< Предыдущий параграф Следующий параграф >>
Оглавление