Главная > Физика > Некоторые основные задачи математической теории упругости
<< Предыдущий параграф
Следующий параграф >>
<< Предыдущий параграф Следующий параграф >>
Макеты страниц

§ 92. Основные формулы, связанные с конформным отображением на полуплоскость.

При решении задач теории упругости для полубесконечных областей удобнее применять отображение не на круг, а на полуплоскость.

Так же, как при отображении на круг, удобно ввести на плоскости z упругого тела криволинейные координаты, связанные с отображением.

Рис. 46а.

Рис. 46б.

Будем по-прежнему обозначать нашу область через а ее границу через Пусть

— соотношение, отображающее на нижнюю половину плоскости т. е. на полуплоскость так, чтобы конечным точкам соответствовали конечные.

Прямым принадлежащим этой полуплоскости, соответствуют, очевидно, некоторые разомкнутые линии в области уходящие обоими концами в бесконечность; эти линии мы будем обозначать через Точно так же полупрямым которые принадлежат нижней половине плоскости соответствуют в линии начинающиеся на и уходящие в бесконечность (рис. 46а, 466).

Так как каждой паре величин при соответствует в области вполне определенная точка плоскости z, мы можем рассматривать как криволинейные координаты на плоскости Линии образуют ортогональную сеть координатных линий.

Пусть некоторая точка области Проведем из z касательные к линиям проходящим через нее, соответственно в сторону возрастания ! и Эти касательные, которые мы также будем обозначать через будут осями криволинейных координат в точке z (рис. 46а); все это совершенно аналогично тому, что было сказано в § 49.

Пусть А — некоторый вектор с началом в точке и пусть его проекции на оси проекции на оси Имеем, как в § 49:

где а — угол, составляемый осью с осью Ох и отсчитываемый от Ох в положительном направлении.

Для вычисления придадим точке z смещение в направлении касательной тогда соответствующая точка получит смещение в направлении оси на плоскости Имеем, очевидно:

откуда выводим:

Итак, имеем формулу

Будем обозначать через компоненты смещения по отношению к осям криволинейных координат, а через компоненты напряжения по отношению к тем же осям. Имеем на основании формулы (2):

компоненты смещения по отношению к осям

Связь компонент напряжения с компонентами выражается формулами (§ 8):

причем, на основании формулы (3)

Выражения компонент смещения и напряжения через функции комплексного переменного мы можем найти совершенно так, как в § 50, если условимся обозначать через

то, что в начале главы II (а также в начале этого отдела) было обозначено через

и положим, как в § 50:

Пользуясь теперь формулами, выражающими компоненты через функции , (§ 32), и формулами (5), (3), получим без всякого труда

Выражение для легко получим, пользуясь формулой (4) и формулой

Наконец, складывая формулы (7) и (8), получим еще одну полезную формулу:

<< Предыдущий параграф Следующий параграф >>
Оглавление