Главная > Физика > Некоторые основные задачи математической теории упругости
<< Предыдущий параграф
Следующий параграф >>
<< Предыдущий параграф Следующий параграф >>
Макеты страниц

§ 113. Решение первой и второй основных задач для полуплоскости

Решение первой и второй основных задач было дано в предыдущей главе (§ 93, 94); мы приведем здесь новое решение, основанное на предыдущих формулах, в качестве простейшего примера их применения.

1. Первая основная задача. В этой задаче задаются внешние напряжения: давление и касательное напряжение приложенные ко всей границе которую будем обозначать через Мы будем считать, что и удовлетворяют условию на ючая бесконечно удаленную точку, и исчезают при

Согласно формуле (14) § 112 граничное условие принимает вид

ибо при z, стремящемся к из нижней полуплоскости, стремится к стремится к стремится к нулю согласно условию (20) § 112.

Решение же граничной задачи (1), исчезающее на бесконечности, мы можем сразу написать на основании результатов § 108, а именно:

Таким образом, задача решена, ибо функция определяет компоненты напряжения и смещения по формулам предыдущего параграфа.

Полученное здесь решение совпадает с решением, полученным в § 93 см. еще замечание 1 к упомянутому параграфу). Относительно поведения на бесконечности сказанное в том же параграфе.

2. Вторая основная задача. В этой задаче задаются граничные значения компонент смещения на Мы будем предполагать, что заданные функции имеют производные удовлетворяющие условию включая бесконечно удаленную точку, и исчезают при

Из граничного условия

получаем, если продифференцировать обе части по

или, принимая во внимание формулу (22) § 112,

На основании формулы (15) § 112, это условие принимает вид:

Обозначим временно через кусочно-голоморфную функцию, определенную так: в Тогда формула (5) принимает вид

откуда получаем сразу, как в предыдущем случае:

так что окончательно

где определяется формулой (7). Относительно поведения полученного решения на бесконечности сказанное в конце п. 1.

Легко также получить решение исходя непосредственно из формулы (18) § 112; но приведенное здесь решение удобнее, так как не требует дополнительных рассмотрений, связанных с тем, что функция не голоморфна на бесконечности, а ведет себя как если не наложить на искомое решение дополнительных условий, уменьшающих общность, как это было сделано в § 94.

<< Предыдущий параграф Следующий параграф >>
Оглавление