Главная > Физика > Некоторые основные задачи математической теории упругости
<< Предыдущий параграф
Следующий параграф >>
<< Предыдущий параграф Следующий параграф >>
Макеты страниц

§ 114а. Примеры.

1. Штамп с прямолинейным горизонтальным основанием. Рассмотрим случай одного штампа с прямолинейным основанием, параллельным оси причем этот штамп может перемещаться лишь вертикально, так что

предположим кроме того, что внешние силы, действующие на штамп, имеют равнодействующую, направленную вертикально вниз, так что

где заданная положительная постоянная.

Отрезок границы, соприкасающийся со штампом, мы будем считать симметрично расположенным относительно начала координат; длину мы обозначим через 21, так что для точек отрезка имеем: При этих обозначениях и при обозначениях предыдущего параграфа

и из формулы (8) § 114 получаем:

или, принимая во внимание формулу (19) § 114

и наша задача решена.

Вычислим давление и касательное напряжение действующие на тело под штампом; они находятся по формуле § 114:

Подставляя сюда значение, даваемое формулой (4), получаем:

где под подразумевается, как было условлено, т. е. значение, принимаемое функцией на левой стороне отрезка ; вспомним также, что под подразумевается ветвь, определяемая условием при

Легко проверить, что при указанных условиях

где радикал считается положительным, а логарифм — действительным. Принимая во внимание, что

можем еще написать:

Подставляя это значение в формулу (5), получаем, отделяя действительную и мнимую части:

Эти формулы совпадают с формулами, полученными Абрамовым [1].

Из формулы (7) следует, что величина изменяет знак бесчисленное множество раз, когда приближается к значениям — так что фактически на некоторых участках границы под штампом, вместо давления, действуют растягивающие усилия.

Но легко подсчитать, что эти участки расположены в весьма малых окрестностях концов отрезка — Действительно, точка в которой величина положительная при обращается в первый раз в нуль, когда приближается к одному из значений определяется из равенства

или

откуда

Но для всех реальных тел ; поэтому наименьшее возможное значение для получим, полагая в предыдущей формуле что дает (приближенно):

Таким образом, перемена знака происходит лишь в тех местах, вблизи которых полученное решение вообще не может выражать действительного состояния тела из-за отступлений от закона Гука, которые вызываются большими напряжениями около углов.

2. Штамп с прямолинейным наклонным основанием. Рассмотрим случай такого же штампа, что и в предыдущем примере, но будем теперь считать, что главный вектор внешних сил, действующих на штамп, равен нулю, а основание штампа составляет с осью Ох угол отсчитываемый от Ох в положительном направлении

(рис. 52). Таким образом, в нашем случае

и

Следовательно, по формуле (8) § 114 будем иметь при обозначениях, принятых в предыдущем пункте:

где дается формулой (3), а

Рис. 52.

На основании замечания 1 в конце § 110 последний интеграл вычисляется в конечном виде. В нашем случае, при больших

и из формулы (40) § 110 получаем:

Внося это значение в правую часть формулы (12), получаем:

и наша задача решена.

Вычислим значение для точек под штампом. Имеем:

т. е. согласно принятым нами обозначениям

Внося вместо значение (6) и разделяя действительные и мнимые части, получаем явные выражения для и которые не выписываем.

До сих пор мы предполагали, что угол задан и что, следовательно, штамп удерживается в заданном положении некоторой парой внешних сил, не заданной заранее. Можно поставить задачу иначе, а именно: считать, что задан момент пары внешних сил, действующих на штамп, и что требуется найти соответствующий угол наклона

Вычислим для этого момент соответствующий данному этот момент дается формулой

(положительным направлением вращения считается направление, обратное движению часовой стрелки), где под следует подразумевать значение, определяемое формулой (14).

Интеграл формулы (15) есть действительная часть интеграла

который легко вычислить в конечном виде. В самом деле, внося значение, определяемое формулой (14), получаем:

Последний интеграл можно вычислить при помощи того же приема, которым был вычислен интеграл (42) в § 110. Именно: рассмотрим интеграл

взятый по замкнутому контуру охватывающему отрезок и пробегаемому в направлении движения часовой стрелки. Стягивая к отрезку получаем:

или, вспоминая, что

и, следовательно,

С другой стороны, при больших имеем разложение:

откуда следует, что коэффициент при в разложении выражения равен

Поэтому применяя к интегралу в правой части (18) теорему о вычетах, получаем:

и, следовательно,

Мы видим, что I — действительная величина. Поэтому значит,

При заданном угол наклона штампа определяется по формуле

Подставляя это значение в формулу (13), получаем решение задачи равновесия штампа под действием заданной пары.

3. Действие эксцентрически приложенной силы. Пусть на штамп с прямолинейным основанием, который может и перемещаться поступательно и наклоняться, действует эксцентрически приложенная сила, направленная вертикально вниз. Действие этой силы эквивалентно действию такой же силы, но приложенной симметрично, и некоторой пары. Поэтому мы получим решение задачи, складывая решения, полученные в п. 1 и 2.

<< Предыдущий параграф Следующий параграф >>
Оглавление