Главная > Физика > Некоторые основные задачи математической теории упругости
<< Предыдущий параграф
Следующий параграф >>
<< Предыдущий параграф Следующий параграф >>
Макеты страниц

I. КРУЧЕНИЕ И ИЗГИБ ОДНОРОДНЫХ БРУСЬЕВ (ЗАДАЧА СЕН-ВЕНАНА)

§ 129. Постановка вопроса.

Рассмотрим однородный изотропный брус, ограниченный цилиндрической (призматической) поверхностью («боковая поверхность») и двумя плоскостями («основаниями»), нормальными к боковой поверхности.

Предположим, что объемные силы отсутствуют, что боковая поверхность бруса свободна от внешних напряжений и что к его основаниям приложены заданные усилия (удовлетворяющие, разумеется, условиям равновесия абсолютно твердого тела).

Направим ось Oz параллельно образующим боковой поверхности, а плоскость Оху возьмем на одном из оснований бруса, которое будем условно называть «нижним». «Верхнее» основание будет расположено на высоте где I — длина бруса.

Если поставить вопрос об упругом равновесии нашего бруса при указанных условиях во всей полноте, то он сводится к следующей математической задаче (см. § 20).

Найти величины удовлетворяющие в области V, занятой брусом, уравнениям:

где

и, кроме того, следующим граничным условиям:

Поставленная в таком виде задача представляет значительные математические трудности, если искать не только теоретическое решение, а такое, которое поддавалось бы фактическому вычислению.

К счастью, оказывается, что для практических целей в большинстве случаев нет надобности (и даже не имеет смысла) ставить задачу с такой полнотой.

Действительно, редко бывает известно фактическое распределение внешних напряжений на основаниях бруса; с большей или меньшей точностью бывают известны главный вектор и главный момент этих напряжений; иными словами, бывает известна совокупность силы и пары, статически эквивалентная совокупности усилий, приложенных к данному основанию.

С другой стороны, на основании принципа Сен-Венана (см. § 23), «ели мы имеем дело с брусом, длина которого весьма значительна по сравнению с размерами оснований, мы должны заботиться только о том, чтобы главный вектор и главный момент усилий, приложенных к основаниям, имели заданные значения; действительное же распределение напряжений на основаниях практически не имеет влияния на части бруса, не находящиеся вблизи оснований.

Таким образом, появляется довольно широкий произвол в выборе решения. Этим произволом можно воспользоваться для упрощения задачи следующим образом: заранее частично задаться формой решения, оставляя его, однако, достаточно общим для того, чтобы можно было получить на основаниях бруса совокупность напряжений, статически эквивалентных данным («полуобратный метод» Сен-Венана).

При этом приходится заботиться только об одном из оснований. Действительно, задание главного вектора и главного момента усилий, действующих на одно из оснований, определяет эти элементы и для другого, так как совокупность усилий, приложенных к обоим основаниям, должна быть статически эквивалентна нулю (т. е. удовлетворять условию равновесия абсолютно твердого тела). С другой стороны, всякое решение уравнений (1) всегда дает такое распределение напряжений на поверхности тела, которое статически эквивалентно нулю (см. конец § 20).

Сен-Венану принадлежит большая заслуга полного теоретического решения вопроса в такой упрощенной (ему же принадлежащей) постановке и применения к ряду технически важных случаев.

Результаты] Сен-Венана изложены в двух его обширных мемуарах {Saint-Venant [1, 2]) и в ряде других работ, в частности в обширных примечаниях к французскому переводу книги Клебша (Clebsch [2]).

А. Клебш (1833—1872), значительно более молодой и раньше умерший современник Сен-Венана, дал очень стройное решение интересующего нас вопроса (Clebsch [1, 2]); он показал, что если заранее поставить условие:

то остается как раз столько произвола, чтобы удовлетворить условиям на основаниях и на боковой поверхности, и что это условие приводит

к решению, которое Сен-Венан получил иным, более длинным путем. Клебш назвал «задачей Сен-Венана» определение упругого равновесия цилиндра (с незагруженной боковой поверхностью) при добавочном условии (5).

Условие (5) имеет, очевидно, следующий физический смысл: если представить себе данный цилиндр состоящим из ряда продольных «волокон» (т. е. продольных тонких призмочек), то эти волокна не оказывают друг на друга давлений и скалывающих усилий в поперечном направлении (т. е. волокна могут оказывать друг на друга только скалывающие усилия в продольном направлении).

При соблюдении равенств (5) условия (3) на боковой поверхности, очевидно, сводятся к следующему одному:

ибо два первых условия (3) будут удовлетворены сами собой.

Мы не будем здесь придерживаться метода изложения Клебша, а применим менее стройный, но более простой метод, по существу совпадающий с тем, которым пользуется Ляв (Love [1], гл. XIV и XV).

Отметим еще, что результаты Сен-Венана можно получить, исходя из следующей постановки задачи, принадлежащей В. Фохту (W. Voigt): найти упругое равновесие рассматриваемого цилиндра (с незагруженной боковой поверхностью), исходя из предположения, что компоненты напряжения зависят линейным образом от координаты

Будем для определенности рассматривать усилия, приложенные к верхнему основанию. Совокупность этих усилий статически эквивалентна силе, приложенной в некоторой (произвольной) точке О и паре. В качестве точки О мы возьмем точку пересечения оси Oz с верхним основанием. Силу мы можем разложить на две компоненты: по направлению оси Oz и по направлению, к ней перпендикулярному. Точно так же пару можем разбить на две: момент одной из них будет параллелен оси Oz («закручивающая пара»), а момент другой расположен в плоскости основания («изгибающая пара»).

В соответствии с этим задачу нашу можно разбить на следующие четыре:

1° кручение парами, действующими в плоскостях оснований;

2° растяжение (или сжатие) продольными силами, приложенными: к основаниям;

3° изгибание парами, плоскости которых перпендикулярны к основаниям;

4° изгибание поперечной силой, приложенной к одному из оснований и действующей в его плоскости (к другому основанию должна быть,

следовательно, приложена сила, равная и противоположная предыдущей, а также пара сил, так, чтобы вся эта система сил уравновешивалась).

Следует хорошо помнить, что во всем нижеследующем речь идет, конечно, не о сосредоточенных силах и парах сосредоточенных сил, а о силах и парах, статически эквивалентных некоторому распределению напряжений на основаниях.

<< Предыдущий параграф Следующий параграф >>
Оглавление