Главная > Физика > Некоторые основные задачи математической теории упругости
<< Предыдущий параграф
Следующий параграф >>
<< Предыдущий параграф Следующий параграф >>
Макеты страниц

§ 154. Продолжение.

В рассмотренных выше работах, относящихся к вопросу о напряжениях в среде с отверстиями, форма контура отверстия задавалась посредством тех или иных конкретных отображений, доставляемых в большинстве случаев конечными отрезками рядов в разложениях интеграла Кристофеля — Шварца. Для многих практически важных форм контура отверстия аппроксимация отображения отрезками упомянутых рядов с небольшим числом членов оказывается далеко не достаточной. Распределение напряжения вблизи отверстий существенно зависит от дифференциальных свойств контура отверстия, и поэтому весьма важно уметь находить более точные отображения, оставаясь при выполнении последующих операций в рамках умеренных в целом вычислительных трудностей.

М. И. Найман (см., например, [1]) в случае отверстия в форме правильного прямолинейного многоугольника с закругленными углами рассматривал, наряду с отрезками рядов, получаемых разложением интеграла Кристофеля — Шварца, аналогичные им полиномы с неопределенными коэффициентами. Эти коэффициенты он определял из условия равенства нулю кривизны в отдельных точках границы и таким путем достигал при равных количествах удержанных в отображающей функции членов заметного выпрямления сторон многоугольника по сравнению с разложением интеграла Кристофеля — Шварца. Тем же автором были рассмотрены и некоторые другие формы отверстий и найденные отображения с успехом применены к решению задач кручения круговых цилиндров, ослабленных теми или иными продольными выточками. Подобные отображения использовались впоследствии и в случае плоской деформации для некоторых простейших профилей.

Несколько иной подход был предложен Кикукава (Kikukawa 11]). Рассматривая бесконечную упругую среду с вырезом, этот автор исходит из некоторого приближенного отображения в простой форме, например в случае прямолинейного многоугольника с закругленными вершинами — из отображения вида (1) § 153 с небольшим числом членов. Это отображение, принимаемое за начальное, уточняется затем с помощью известной формулы так называемого близкого отображения:

Здесь у — окружность единичного радиуса в плоскости точка на ней, а расстояние по нормали между заданной точной кривой и приближенной, соответствующей отображению Разложив интеграл в правой части (1) в степенной ряд и удержав в нем несколько первых членов, автор находит отображение более точное, чем и принимает найденную таким образом в явной форме функцию за отображающую. Все остальное делается как обычно при использовании

метода степенных рядов, основанного на конформном отображении (см. гл. III); исходные граничные условия задачи в криволинейных координатах, установленные автором, представляют собой хорошо известные условия (той же первой основной задачи) в форме, предложенной Г. В. Колосовым (§ 51, формула (11)). Анализ завершается приведением к системе линейных алгебраических уравнений, решаемой приближенными способами.

Кикукава рассмотрел ряд вырезов различных очертаний и довел решение во многих конкретных примерах до численных результатов. Помимо бесконечных областей, ограниченных замкнутыми, кривыми, лежащими в конечной части плоскости, ему удалось включить в рассмотрение и некоторый класс областей, границы которых удаляются в бесконечность.

Как выяснилось из проведенных автором численных расчетов, поправочный член в отображении (1) вносит существенное изменение в распределение напряжений вблизи отверстий. В случае, например, отверстия, имеющего форму ромба с закругленными углами, заметное влияние на концентрацию напряжений оказывают лишь два первых члена в разложении поправочного интеграла. Тем не менее для получения окончательной картины напряженного состояния, приемлемой при более или менее точном анализе, приходится в большинстве случаев удержать значительное количество членов разложения.

Методом, примененным Кикукава, Брчич (Brcic [1]) рассмотрел конкретную задачу для случая бесконечной плоскости, ослабленной двусторонними вырезами в форме прямолинейных полуполос с закругленными углами.

<< Предыдущий параграф Следующий параграф >>
Оглавление