Главная > Физика > Некоторые основные задачи математической теории упругости
<< Предыдущий параграф
Следующий параграф >>
<< Предыдущий параграф Следующий параграф >>
Макеты страниц

§ 156. Включения из различных материалов.

Жесткому подкреплению отверстий вполне равносилен в смысле трудностей, сопутствующих решению, случай тех же отверстий, ничем не подкрепленных; в первом случае на обводе отверстия должны быть соблюдены граничные условия второй основной задачи, а во втором — аналогичные условия первой задачи. Эти два случая по существу не отличаются друг от друга, и поэтому задачу о жестких включениях отдельно рассматривать мы не будем.

Иначе обстоит дело для упругих включений с упругими характеристиками, отличными от упругих характеристик окружающей пластинки: здесь задача становится значительно сложнее.

Метод решения, аналогичный изложенному выше (§ 151) для случая двусвязных областей, был применен Д. И. Шерманом [35] в задаче о напряжениях в кусочно-однородных средах, когда составное неоднородное тело, занимающее конечную односвязную область, состоит из соединенных между собой двух различных по упругим свойствам деталей. Отверстие в однородной пластинке конечных размеров, ограниченной двумя замкнутыми контурами, заполняется сплошной шайбой из другого материала. На внешней границе пластинки задаются обычные условия первой задачи, а на линии раздела двух сред требуется равенство напряжений при наличии заданного скачка упругих смещений.

Для нахождения вспомогательной функции вводимой на этот раз на границе пластинки, получается, как и прежде, система интегральных уравнений Фредгольма, полностью решающая в теоретическом смысле исходную граничную задачу. В частном случае круговой пластинки с эксцентрическим круговым включением, рассмотренном для иллюстрации метода, интегральные уравнения заменяются бесконечной системой линейных алгебраических уравнений.

В работе Хардимана (Hardiman [1 ]) рассмотрена неограниченная пластинка с впаянным без предварительного натяга эллиптическим ядром, подвергнутая на бесконечности однородному растяжению, и указано решение этой задачи в замкнутом виде. Любопытно, что индуцированное при этих условиях поле напряжений в эллиптическом диске также оказалось однородным.

Случай концентрических круговых включений в пластинке, когда каждая из последовательно включаемых в отверстие деталей представляет собой концентрическое круговое кольцо, легко поддается эффективному рассмотрению методом степенных рядов. Решение задачи для этого случая давно известно (см., например, Г. Н. Савин [8]). Это решение для одного включения при некоторых простейших видах нагружения на бесконечности и на внутреннем контуре подкрепляющего кольца содержится также в статье Хардимана (Hardiman [2]).

Метод степенных рядов применительно к задаче о кольцевых подкреплениях отверстий оказывается принцициально пригодным для эффективного решения каждый раз, когда бесконечная односвязная область, занятая сопряженными телами, конформно отображается на внешность круга посредством рациональной функции и подкрепляющее кольцо переходит при этом в концентрическое круговое. Эффективное решение задачи для случая отображения вида (2) § 153 было дано М. П. Шереметьевым [3], [7], который скомбинировал метод степенных рядов с методом интегралов типа Коши. Частный случай крепления в форме софокусного эллиптического кольца рассматривался позже в работах Ода (Oda [1 ] ) и Левина (Levin [1]). В первой из этих работ приводятся два численных примера применительно к задаче о давлении окружающих пород на крепь туннеля с круговым и эллиптическим поперечными сечениями. Во второй работе решение представлено в форме степенных рядов, достаточно удобных для численных расчетов.

И. А. Прусов [1] рассмотрел задачу об усилении отверстия в растягиваемой бесконечной пластинке кольцом переменного сечения, ограниченным по внешнему контуру окружностью, а по внутреннему — эллипсом. Задача решается приближенно методом, основанным на приведении к задаче линейного сопряжения, примененным впервые к решению задач плоской теории упругости в работе Н. И. Мусхелишвили [22] (см. гл. VI настоящей книги). В другой работе И. А. Прусов [2] рассмотрел тем же методом случай полуплоскости с подкрепленным круговым отверстием; ранее эта задача иным методом была решена в упомянутой в § 151а работе И. Г. Арамановича [1].

<< Предыдущий параграф Следующий параграф >>
Оглавление