Главная > Физика > Некоторые основные задачи математической теории упругости
<< Предыдущий параграф
Следующий параграф >>
<< Предыдущий параграф Следующий параграф >>
Макеты страниц

§ 157. Усиление отверстий тонкими кольцами.

Плоские задачи об усилении кольцами отверстий (так же как и аналогичные им задачи, относящиеся к поперечному изгибу тонких пластинок) можно значительно упростить в случае, когда подкрепляющее кольцо представляет собой

в плане тонкую криволинейную полосу. Такое кольцо обычно принимают за упругую линию, напряженное и деформированное состояния которой описываются элементарными уравнениями теории сопротивления материалов.

Усилия действующие на кольцо со стороны окружающей пластинки, будем временно считать известными и определим, исходя из теории малых деформаций криволинейных стержней, напряженное состояние кольца при заданных на всей его границе внешних воздействиях Тогда все основные величины, характеризующие деформацию кольца, — изгибающий момент, нормальныё и поперечные силы, а также упругие смещения оси кольца — выразятся через внешнюю нагрузку в элементарной форме. Если теперь найденные выражения для упругих смещений точек внешнего контура кольца подставить в соответствующее условие сопряжения на линии раздела сред, то получатся два комплексных соотношения для определяемых в области пластинки функций и в эти соотношения войдут неизвестные усилия Влияние подкрепления тонким кольцом выражается, таким образом, в том, что в обычных условиях первой и второй основных задач на обводе отверстия контурные усилия и смещения будут, помимо известных величин, содержать две подлежащие определению в ходе решения задачи действительные функции.

После этого применение методов, изложенных в настоящей книге, приводит к эффективному решению задачи, если область вне контура спая конформно отображается на внешность круга при помощи рациональной функции. Подобным образом эта задача изучалась для определенного класса отверстий при различных предположениях относительно характера деформации кольца и нагружения пластинки. Существенные результаты в этом направлении были получены в работах Г. Н. Савина, М. П. Шереметьева, Радока, Н. П. Флейшмана и некоторых других авторов. Остановимся вкратце на некоторых, сравнительно новых публикациях.

В работе М. П. Шереметьева [4] рассмотрена растянутая в двух направлениях бесконечная плоскость с подкрепленным отверстием. Подкрепляющее кольцо постоянного сечения принимается за плоский упругий стержень, работающий на изгиб и растяжение. Выводятся соотношения общего вида, характеризующие деформации такого стержня, после чего в соответствии с изложенной выше схемой задача ставится в терминах теории функций комплексного переменного. Полученная задача решается для случая кругового отверстия методом рядов. Следует отметить, что та же задача с той же полнотой была решена немного позже Радоком (Radok [1]), который, по-видимому, не был знаком с работой М. П. Шереметьева. В другой работе М. П. Шереметьева [5] изучается изгиб бесконечной тонкой пластинки, подкрепленной кольцом постоянного сечения,

приложенными по краю моментами и нормальными усилиями. Кольцо, подкрепляющее край отверстия в пластинке (или край пластинки), рассматривается как нерастяжимая упругая линия, работающая на изгиб и кручение. Метод решения здесь вполне аналогичен указанному выше для случая плоского напряженного состояния. Подробный анализ по-прежнему ограничивается случаем кругового отверстия при однородном поле на бесконечности, когда на бесконечности действуют равномерно распределенные изгибающие и крутящие моменты.

Влияние кольцевого подкрепления в изгибаемых пластинках изучалось также в статьях Н. П. Флейшмана [1, 2]. На той же основе, что и в предыдущих работах, автор существенно упростил схему решения в случае кругового отверстия и подробно рассмотрел два примера об изгибе неограниченной пластинки, подверженной на бесконечности действию односторонних изгибающих и всесторонних крутящих моментов соответственно. На этих же примерах автор указал эффективный способ подбора оптимального крепления, при котором полностью или почти полностью устраняется концентрация напряжений.

Задача в случае эллиптического отверстия в изгибаемой пластинке была сведена М. П. Шереметьевым [6] к некоторой линейной граничной задаче типа задачи линейного сопряжения теории аналитических функций, причем линия скачков представляет собой окружность. Эта последняя задача решается методом последовательных приближений, причем за начальное приближение принимается решение для случая кругового отверстия.

Г. Н. Савин и Н. П. Флейшман [1] рассмотрели общую задачу о подкреплении края пластинки весьма тонким стержнем переменного сечения, работающим на изгиб (при изгибе пластинок) или растяжение (в случае плоского напряженного состояния). Устанавливается некоторое приближенное условие на подкрепленном крае пластинки, обобщающее известные граничные условия основных задач плоской теории упругости и задач теории изгиба тонких пластинок.

Полученная задача теории функций допускает, подобно основным плоским задачам, решение в замкнутой форме, если область пластинки конформно отображается на круг посредством рациональной функции. Это и иллюстрируется на примере эллиптического отверстия в бесконечной пластинке.

Не имея возможности остановиться на этих вопросах более детально, мы отсылаем читателя для ознакомления с некоторыми подробностями и обобщениями на случаи более общего вида подкрепления отверстий к книге М. П. Шереметьева [7], а также к работам А. Н. Кулика [1] и Т. Л. Мартиновича [1, 2].

<< Предыдущий параграф Следующий параграф >>
Оглавление