Главная > Физика > Некоторые основные задачи математической теории упругости
<< Предыдущий параграф
Следующий параграф >>
<< Предыдущий параграф Следующий параграф >>
Макеты страниц

§ 159. Пластинки с границами, уходящими в бесконечность.

Способ решения, указанный в цитированной выше работе Грэя (Gray [1]), был применен тем же автором к задаче о плоской деформации прямолинейной полосы, изгибаемой в своей плоскости сосредоточенной нагрузкой, приложенной в точке ее края перпендикулярно к граничной линии (Gray [2]). Полученная в этом случае система уравнений, не поддающаяся уже решению методом итераций, приводится к удобному виду при помощи некоторых преобразований. После этого система решается численно и дается подробный анализ напряженного состояния. Отметим, что заданную сосредоточенную силу на границе полосы автор заменяет совокупностью некоторых двух систем сосредоточенных сил, приложенных к границе, и искомое решение представляет, таким образом, в виде наложения решений двух частных задач для той же полосы. Одна из этих задач, а именно задача о полосе, сжимаемой двумя прямо противоположными, нормальными к границе сосредоточенными силами, приложенными в противоположных точках границы, поддается рассмотрению по схеме автора сравнительно легко. Отметим, что эта частная задача решалась в замкнутом виде различными способами. Данное в работе Зоннтага (Sonntag [1]) ее решение, основанное на конформном отображении полосы, отличается от известных

ранее решений быстрой сходимостью содержащихся в нем несобственных интегралов.

Н. С. Курдин [1] указал решение в замкнутой форме для случая внешности параболы, когда среда подвержена действию сосредоточенной нагрузки, приложенной в точке ее края.

В работе Бухвальда и Тиффена (Buchwald a. Tiffen [1 ]) изучается поперечный изгиб свободно опертой по краям неограниченной тонкой пластинки, когда срединная поверхность ее представляет собой полуплоскость или прямолинейную полосу. Условия свободного опирания по контуру, как было указано выше, вырождаются на его прямолинейных участках, а это позволяет авторам найти решение для рассматриваемых случаев элементарно, в интегралах типа Коши и интегралах Фурье. Рассмотрение авторов включает доказательство теоремы единственности упругого состояния, справедливой при известных условиях на бесконечности, и подробное решение для одного частного случая (внутренних) сосредоточенных нагрузок.

Некоторые случаи односвязных областей с границами, уходящими в бесконечность, рассматривались также в работах Сейка (Seika [3]) и Шиоя (Shioya [1 ]). В первой из этих работ рассмотрена задача о плоской деформации полуплоскости, растянутой равномерными усилиями на бесконечности, когда прямолинейная ее граница ослаблена симметричным вырезом в форме буквы Растягивающие усилия параллельны прямолинейной границе полуплоскости граница упругой среды свободна от внешних усилий. Полуплоскость с указанным вырезом, близким по форме к полуовалу, отображается при помощи функции

где действительные постоянные, на полуплоскость с выброшенным у границы полукругом. После обычной процедуры представления искомых потенциалов в виде сумм двух функций, первые слагаемые которых дают напряжения в растягиваемой сплошной полуплоскости, а вторые соответствуют дополнительным напряжениям, возникшим вследствие ослабления среды, искомые функции представляются (без надлежащего обоснования) специально подобранными рядами Лорана. Использование степенных рядов дает здесь возможность свести задачу к некоторой бесконечной системе линейных уравнений, которая решается затем приближенно методом возмущений. За параметры возмущения берутся считаемые малыми числа тип, входящие в формулу (1) и характеризующие форму и размеры выреза. В названной работе Shioya [1] точно таким же путем рассмотрена задача об одностороннем изгибе неограниченной пластинки, занимающей полуплоскость с удаленным у границы полуэллипсом. В обеих работах до конца разобраны численные примеры для различных параметров задачи, приведены таблицы для коэффициента концентрации напряжений и построены эпюры напряжений и моментов. Судя по полученным

здесь численным результатам, таким путем можно, по-видимому, получить картину напряженного состояния, достаточно близкую к истинной. Тем не менее подход этот требует обоснования.

<< Предыдущий параграф Следующий параграф >>
Оглавление