Главная > Физика > Некоторые основные задачи математической теории упругости
<< Предыдущий параграф
Следующий параграф >>
<< Предыдущий параграф Следующий параграф >>
Макеты страниц

§ 33. Механическое значение функции f. Выражения для главного вектора и главного момента.

1. Введенная в § 31 функция

имеет весьма простое механическое значение, которое мы выясним, найдя выражение для главного вектора усилий, приложенных к данной дуге расположенной в области занятой телом. Мы будем иметь в виду усилия, действующие на элементы дуги справа, если двигаться по этой дуге в направлении от А к В, — иначе говоря, действующие со стороны положительной нормали проведенной так, как в предыдущем параграфе (рис. 15).

Обозначим через упомянутый главный вектор. Из формул (5), (6) предыдущего параграфа следует:

где символ обозначает, как обычно, приращение выражения, заключенного в скобки, при перемещении по дуге из

Если в предыдущей формуле считать точку А зафиксированной раз навсегда, а точку В — переменной, и обозначить ее аффикс через то получим:

где представляет собой главный вектор усилий, приложенных со стороны положительной нормали к произвольной дуге, соединяющей фиксированную точку А с переменной точкой причем положительная нормаль считается обращенной вправо по отношению к наблюдателю, движущемуся по рассматриваемой дуге от 1 к В.

Этот главный вектор, как следует из предыдущего, а также из механических соображений (см. п. 3), не зависит от формы дуги, соединяющей лишь бы, разумеется, эта дуга не выходила из области

Формула (3) и определяет механическое значение функции

2. Выведем теперь формулу, аналогичную формуле (2), для главного момента рассматриваемых усилий относительно начала координат.

Имеем:

На основании формул (3) § 32 эту формулу можно переписать так:

откуда, интегрируя по частям, выводим:

или, наконец,

Заметим теперь, что

и что на основании формулы (4) § 31

Внося это выражение в предыдущую формулу и вспоминая еще, что

получаем окончательно:

Формулы эти были указаны в моей работе [11].

3. Если, как мы предполагали до сих пор, рассматриваемая область односвязна, то функции однозначны в ней. Поэтому если точка В совпадает с А, т. е. если рассматриваемый профиль — замкнутая кривая, то значения этих функций в точках совпадают, и мы будем иметь, как и следовало ожидать,

Формулы (6) выражают не что иное, как тот факт, что совокупность внешних усилий, действующих на часть находящегося в равновесии тела, заключенную внутри какого-либо замкнутого контура, статически эквивалентна нулю.

<< Предыдущий параграф Следующий параграф >>
Оглавление