Главная > Физика > Некоторые основные задачи математической теории упругости
<< Предыдущий параграф
Следующий параграф >>
<< Предыдущий параграф Следующий параграф >>
Макеты страниц

§ 38. Замена прямоугольных координат.

Посмотрим теперь, как изменяются введенные нами функции, соответствующие данному напряженному состоянию тела, при переходе от одной системы прямоугольных прямолинейных координат к другой.

Рассмотрим сперва эффект переноса начала в новую точку Пусть и координаты одной и той же точки относительно старой и новой систем и пусть

Очевидно,

где

Будем исходить из формул

Обозначим через функции, играющие ту же роль в новой системе, что функции и в старой.

Так как при переносе начала компоненты напряжения не изменяются, то мы должны иметь на основании первой из формул (2)

откуда

в правой части можно было бы прибавить любую чисто мнимую постоянную, которая никакого влияния на распределение напряжений не имеет.

Далее, согласно второй из формул (2) получим:

откуда, принимая во внимание равенство (3),

Интегрируя по z равенства (3) и (4), получаем также

в предыдущих формулах отброшены произвольные постоянные, не влияющие на распределение напряжений.

Мы видим, что функция не инвариантна по отношению к переносу начала, т. е. значение для старых координат не получается простой заменой в а переменной через Наоборот, функция инвариантна по отношению к переносу начала.

Рассмотрим теперь эффект поворота осей без переноса начала. Если новая ось повернута относительно старой Ох на угол а, то

откуда

т. е.

Ввиду инвариантности суммы будем на основании первого из равенств (2) иметь:

откуда, отбрасывая чисто мнимое постоянное слагаемое, получаем:

Далее, выражение, аналогичное выражению

но составленное для новой системы координат, будет на основании формулы (8) § 8 равно

Значит, из формулы, аналогичной второй формуле (2), составленной для новой системы, следует:

откуда

Замечая, далее, что на основании получаем:

Интегрируя обе части равенств (7) и (8) по z и отбрасывая произвольные постоянные, не влияющие на распределение напряжений, получаем еще:

Наконец, интегрируя второе из предыдущих равенств, получим:

причем опять отброшена произвольная постоянная.

Замечание. Если бы мы не отбрасывали произвольные постоянные, то, например, вместо формул (9) получили бы:

где произвольные действительные постоянные, не влияющие на распределение напряжений. Мы приняли выше, что

Благодаря такому подбору постоянных, не только напряжения, соответствующие новым и старым функциям, будут одними и теми же, но и смещения не будут отличаться друг от друга (они могли бы отличаться жестким перемещением). Далее, благодаря тому, что мы отбросили произвольную постоянную в формуле (10), функция напряжений составленная при помощи новых и старых функций, будет одна и та же. При другом подборе постоянных это могло бы не иметь места, так как функции напряжений, соответствующие одному и тому же напряженному состоянию, могут отличаться друг от друга произвольным слагаемым вида

Рис. 17.

<< Предыдущий параграф Следующий параграф >>
Оглавление