Главная > Физика > Некоторые основные задачи математической теории упругости
<< Предыдущий параграф
Следующий параграф >>
<< Предыдущий параграф Следующий параграф >>
Макеты страниц

§ 62. Температурные напряжения в полом круговом цилиндре.

Так как задача о дислокации кругового кольца решена (§ 60), то на основании результатов § 46 задача о деформации полого цилиндра, поперечное сечение которого представляет круговое кольцо, установившимся плоским потоком тепла должна также считаться решенной. Мы ограничимся рассмотрением одного простого приложения.

Будем придерживаться обозначений § 46. В нашем случае область ограничена двумя линиями представляющими собой концентрические окружности радиусов с центром в О.

Предположим, что рассматриваемый полый цилиндр нагревается установившимся потоком тепла, причем при при где постоянные, расстояние точки до начала координат. Тогда, как легко проверить (см. замечание в конце параграфа),

Отсюда, обозначая через то же, что в § 46, и отбрасывая чисто мнимую произвольную постоянную, получаем:

Значит, в нашем случае согласно формуле (6) § 46 будем иметь (отбрасывая опять постоянную):

Мы видим, что в рассматриваемом случае (при обозначениях § 46 у нас только один внутренний контур

Значит, мы получим решение «вспомогательной» задачи (§ 46), если в формулах (9) и (10) § 60 положим [см. формулы (16) § 46]:

Так как напряжения во вспомогательной задаче те же, что и в данной, то эти напряжения получатся непосредственно из формул (10) § 60 при только что указанном значении Таким образом, мы получаем хорошо известные формулы. Чтобы вычислить смещения, следует найти смещения вспомогательной задачи (что требует самых элементарных выкладок). Тогда будут даны формулами (8) § 46 и формулой (3) настоящего параграфа.

Замечание. Сделаем еще несколько указаний, касающихся рассматриваемого здесь случая, т. е. когда сечение — круговое кольцо.

Если температура не дана непосредственно, а заданы только ее значения на окружностях и то ее можно вычислить таким образом. По определению функции имеем:

причем на основании формулы (12) § 46, взяв получаем;

где А — действительная постоянная.

Функция должна быть определена по граничным условиям:

где заданные значения температуры на контурах и Мы представим эти функции разложенными в комплексные ряды Фурье:

Тогда граничные условия напишутся так:

Значит, будем иметь:

Из уравнений (9) определяются т. е. удвоенная действительная часть каждая пара уравнений (10) определит и (достаточно, чтобы определить все коэффициенты, придавать к только значения Мнимая часть останется, как и следовало ожидатьг не определенной, и ее можно задать произвольно.

Например, если при при где постоянные, мы будем иметь:

Тогда мы получим для как раз формулу (2).

Заметим еще следующее важное обстоятельство: многозначные члены в функции могут произойти только от члена и члена в разложении (7). Постоянные же определяются, как это показывают формулы (9), (10), исключительно величинами Следовательно, характеристики дислокации во вспомогательной задаче, а поэтому и напряжения в исходной задаче зависят исключительно от величин

или, что все равно, от величин

<< Предыдущий параграф Следующий параграф >>
Оглавление