Главная > Физика > Некоторые основные задачи математической теории упругости
<< Предыдущий параграф
Следующий параграф >>
<< Предыдущий параграф Следующий параграф >>
Макеты страниц

§ 67. Значения интеграла типа Коши на линии интегрирования. Главное значение интеграла по Коши.

До сих пор мы предполагали, что в формуле (1) § 66 точка z не расположена на линии интегрирования Пусть теперь точка z совпадает с некоторой точкой расположенной на Напишем пока чисто формально:

Если то подынтегральная функция обращается при в бесконечность, как Поэтому интеграл в правой части не имеет смысла, если оставаться в рамках обычного определения. Однако интегралу (1) можно при некоторых предположениях относительно функции приписать вполне определенный смысл. Именно, предположим, что точка не совпадает ни с одним из концов линии (если таковые имеются), и выделим из около точки достаточно малую дугу содержащую и такую, что расстояния точек и до равны между собой, т. е.

Обозначим дугу через I, а оставшуюся часть линии через и рассмотрим интеграл

Этот интеграл имеет уже вполне определенный обычный смысл, так как, когда пробегает путь интегрирования всегда где некоторое положительное число.

Предположим теперь, что стремятся к так, однако, что все время соблюдается условие (2). Если при этом интеграл (3) стремится к определенному пределу, то этот предел называется главным значением интеграла (1) по Ноши.

Ясно, что если интеграл (1) имеет обычный (риманов) смысл, то существует и его главное значение, но обратное утверждение, вообще говоря, несправедливо.

Рис. 31.

Главное значение интеграла, если оно существует, мы будем обозначать тем же символом, что и обычный интеграл, т. е. символом (1), подразумевая, что если интеграл не имеет обычного смысла, то берется его главное значение (когда оно существует).

Мы не станем заниматься разысканием возможно общих условий существования главного значения, а укажем один весьма важный случай (вполне достаточный для наших целей), когда это существование наверное обеспечено. А именно, главное значение интеграла (1) существует, если функция удовлетворяет в окрестности точки условию условию (см. § 65, п. 3):

Мы докажем это утверждение путем фактического выражения главного значения интеграла через обычный интеграл.

Вернемся для этого к интегралу (3) и рассмотрим сперва случай (рис. 31), когда состоит из одной простой разомкнутой дуги т. е. рассмотрим интеграл

Обозначения мы выбрали так, что положительное направление на ведет от а к

Этот интеграл мы можем представить следующим образом:

Первый интеграл правой части стремится при к вполне определенному пределу

ибо этот интеграл — сходящийся в обычном (т. е. римановом) смысле. Действительно, на основании условия (4) имеем:

и так как то это неравенство обеспечивает сходимость нашего интеграла в силу хорошо известного элементарного признака сходимости.

Обратимся ко второму интегралу правой Части формулы (5). Он легко вычисляется в конечном виде

где под на частях линии подразумеваются любые ветви этой функции, непрерывно изменяющиеся вместе с на каждой из частей в отдельности. Эти ветви могут быть выбраны произвольно на каждой из упомянутых частей, но для определенности мы свяжем их следующим условием: значение при получается из значения при путем непрерывного изменения при движении точки из положения в положение по (бесконечно малой) полуокружности, расположенной слева от (по отношению к наблюдателю, смотрящему вдоль положительного направления, выбранного на рис. 31, пунктир). Тогда выбор ветви на вполне определяет выбор ветви на подразумевая, что этот выбор сделан, мы можем написать:

где следует подразумевать

при только что указанном выборе логарифмов. Так как, далее, по условию то

где — угол, указанный на рис. 31. Ясно, далее, что при будем иметь: Поэтому, переходя к пределу в выражении получаем:

Следовательно, интеграл (3) стремится к определенному пределу; этот предел и есть по определению главное значение интеграла

оно дается формулой, вытекающей из предыдущих:

где в правой части фигурирует интеграл в обычном (римановом) смысле.

Пусть теперь произвольная линия указанного в п. 1 § 65 вида. Тогда, выделив на произвольную дугу содержащую точку (так, чтобы не совпадали с можем переписать интеграл (3) так:

При если при этом соблюдается условие (2), первый интеграл правой части стремится, как было показано, к определенному пределу; второй же интеграл от не зависит. Следовательно, интеграл (3) стремится к определенному пределу, который и есть по определению главное значение интеграла (1); на основании предыдущего это главное значение дается формулой:

Эта формула мало симметрична, и мы ею в дальнейшем пользоваться не будем; мы вывели ее лишь для того, чтобы показать, что главное

значение по Коши, при указанном выше условии насчет функции существует и может быть выражено при помощи обычных интегралов.

Замечание 1. Формула (8) значительно упрощается, если простой замкнутый контур. Мы можем получить формулу для этого случая исходя из формулы (7), представив себе, что конец дуги приближается к концу а, так что в пределе мы получим замкнутый контур Считая для определенности, что положительное направление на этом контуре выбрано так, что, идя в этом направлении, мы оставляем конечную часть плоскости, ограниченную контуром слева, будем, как легко видеть, иметь в пределе (при

и формула (7) примет вид

Замечание 2. Считая, что удовлетворяет условию при рассматриваемых значениях отметим следующее обстоятельство.

При определении главного значения интеграла по Коши нет необходимости полагать, что условие (2), т. е. условие соблюдается точно. Достаточно считать, что при

т. е. что эквивалентные бесконечно малые величины. Действительно ясно, что и при этом условии мы будем также иметь

и что поэтому все наши предыдущие рассуждения и формулы останутся в силе. В частности, условие (2) можно заменить следующим:

где обозначают длины дуг и иначе говоря, точка разделяет дугу на две равные по длине части.

Замечание 3. Очевидно, что формулы и заключения этого параграфа останутся в силе и в случае, если функция удовлетворяет при данном условию лишь в точке (§ 65, п. 3, замечание), т. е. условию

(при t достаточно близком к не обязательно удовлетворяя условию для любых двух точек в окрестности Однако в этом случае заключения и формулы будут, вообще говоря, справедливы лишь для данного значения

<< Предыдущий параграф Следующий параграф >>
Оглавление