Главная > Физика > Некоторые основные задачи математической теории упругости
<< Предыдущий параграф
Следующий параграф >>
<< Предыдущий параграф Следующий параграф >>
Макеты страниц

§ 83а. Примеры.

1. Растяжение бесконечной пластинки с жестким эллиптическим ядром. Пусть бесконечная пластинка со впаянным жестким эллиптическим ядром подвергается такому же одностороннему растяжению, как в примере 1

§ 82а (рис. 39). Мы будем считать, что на жесткое ядро не действуют внешние силы, кроме напряжений, вызванных окружающим материалом; поэтому мы должны считать При обозначениях § 82а (пример 1) будем иметь:

Рис. 39.

Приложенное растягивающее усилие может вызвать (жесткое) поступательное перемещение и поворот ядра. Так как поступательное перемещение может быть устранено жестким поступательным перемещением всей системы, мы можем от него отвлечься и принять, что ядро повернулось вокруг своего центра на (неизвестный пока) угол Контурные значения компонент смещения будут при этом:

так что

Так как далее

и, на основании формулы (12) § 83, , то по формулам и (11) § 83, в которых следует положить находим:

Остается определить угол из условия, что главный момент усилий, действующих на ядро со стороны окружающего материала, равен нулю. Этот момент мы вычислим при помощи формулы (5) § 33.

Так как в нашем случае следовательно, однозначны, главный момент усилий, действующих со стороны ядра на окружающее тело, будет равен приращению при обходе по контуру эллипса (по часовой стрелке). Значит, достаточно вычислить многозначные члены в выражении

Вторая из формул (2) показывает, что, если положить эти многозначные члены суть:

Следовательно, будем иметь:

Условие дает:

Таким образом, задача решена. В случае кругового ядра поворот равен нулю. В предельном случае прямолинейного ядра, т. е. жесткого тонкого стержня, и

В случае всестороннего растяжения, когда

будем иметь, очевидно, в результате простых вычислений получаем:

2. Случай, когда эллиптическое ядро удерживается от поворота. Если при условиях предыдущего примера (одностороннее растяжение) эллиптическое жесткое ядро удерживается в первоначальном положении подходящей парой сил, то и из формул (2) следует:

Момент пары, удерживающей ядро от поворота, равен по формуле (3)

3. Случай, когда на эллиптическое ядро действует пара с заданным моментом. Будем считать,

что на бесконечности напряжения равны нулю. Тогда из формул (2) находим:

при этом величина определяется по формуле (3):

4. Случай, когда на эллиптическое ядро действует сила, приложенная к центру. Будем считать, что напряжения на бесконечности равны нулю. Легко видеть, что ядро не испытает вращения. Мы можем, далее, считать, что оно вообще остается на месте (ибо этого можно достигнуть жестким поступательным перемещением всей системы). Значит, в формулах (10), (11) и (12) § 83 будет: откуда следует, если есть приложенная сила:

и, значит, на основании формул (6), (7) того же параграфа

<< Предыдущий параграф Следующий параграф >>
Оглавление