Главная > Физика > Некоторые основные задачи математической теории упругости
<< Предыдущий параграф
Следующий параграф >>
<< Предыдущий параграф Следующий параграф >>
Макеты страниц

§ 87a. Пример.

Решение первой основной задачи для бесконечной плоскости с круговым отверстием. В этом случае можйо положить:

где радиус отверстия.

Граничное условие (1) предыдущего параграфа примет вид

обозначают внешние нормальное и касательное напряжения при том же правиле выбора знаков, что и в § 56 (а именно: есть проекция внешнего напряжения на нормаль к окружности, направленную к центру, проекция на касательную, направленную влево, если смотреть вдоль

Будем для простоты считать, что напряжения на бесконечности равны нулю. Тогда функции не только голоморфны вне у, включая бесконечно удаленную точку, но и исчезают на бесконечности, если считать, что вращение на бесконечности равно нулю. Таким образом, при больших

кроме того, если мы хотим, чтобы смещения были однозначны, должно быть соблюдено условие

Вычисления несколько упростятся, если умножить обе части формулы (2) на что дает:

или, если перейти к сопряженным значениям,

ибо, как легко видеть,

Будем считать, что функции непрерывны вплоть до границы, каждая в отдельности.

Выражая теперь, что функция точки контура определяемая формулой (4), есть граничное значение функции голоморфной вне у, получаем на основании формулы (13) § 76:

где произвольная точка вне 7, или

откуда, наконец,

Постоянная не определяется самим функциональным уравнением (7), которое удовлетворяется найденным значением при всяком как это следует из самого вывода. Это не должно нас удивлять, так как мы пока не учли условия однозначности смещений.

Вычислим теперь функцию Мы знаем ее граничное значение, ибо оно дается формулой (4), если под понимать значение (8). Для того же, чтобы найти функцию по формуле Коши, надо знать еще ее значение при это значение мы найдем по той же формуле (4),

умножив обе ее части на и проинтегрировав по 7, что приводит к соотношению

где главный вектор внешних усилий, приложенных к обводу отверстия. Предыдущее соотношение вместе с соотношением (3) определяет величины а именно:

После этого, применяя формулу Коши к вычислению функции по ее граничному значению, определяемому формулой (4), получаем после очевидных упрощений:

Таким образом, задача решена формулами (8) и (10), в которых обозначают величины (9).

В качестве простого частного примера рассмотрим случай, когда на правую половину обвода действуют равномерно распределенные усилия, параллельные оси а другая половина свободна от напряжений. Тогда

Поэтому

и, значит,

Остается вычислить интегралы, фигурирующие в формулах (8) и (10); оба эти интеграла равны следующему (так как

где интеграл взят в положительном направлении по правой половине окружности, откуда

при надлежащем выборе ветви логарифма.

Подставляя найденное значение в формулы (8), (10), найдем явные выражения для которые считаем излишним выписывать.

<< Предыдущий параграф Следующий параграф >>
Оглавление