Главная > Математика > n-угольники
<< Предыдущий параграф
Следующий параграф >>
<< Предыдущий параграф Следующий параграф >>
Макеты страниц

§ 7. Изобарические циклические проекции для n=4

Пусть Для каждого из трех периодических классов n-угольников изобарическими проекциями, переводящими в эти классы все пространство являются соответственно Больше никаких циклических проекций с этими классами в качестве образов не существует. Это следует из теоремы 7 и коммутативности циклических отображений.

Найдем циклическую проекцию, переводящую в класс параллелограммов. Поскольку -квазипроекция (теорема 10), искомой проекцией является где ограничение на множестве параллелограммов (см. § 4 этой главы).

Пусть А — произвольный n-угольник, и пусть Тогда т. е. А — параллелограмм, имеющий с А одинаковые середины сторон, и — искомая проекция:

Теорема 11. Пусть отображение, сопоставляющее каждому n-угольнику такой параллелограмм, что середины сторон образа и исходного n-угольника совпадают, является циклической проекцией множества на класс параллелограммов; оно изобарично и равно

Доказательство. Пусть определены, как выше, Чтобы получить явное выражение через необходимо, положив

подставить в формулу (13) из § 6 значение с, задаваемое равенством (14). При этом мы получим циклическую систему

Таким образом, - циклическое отображение с коэффициентами , сумма которых равна 1;

в это отображение задается так:

Последнее выражение, записанное в форме

дает, способ построения параллелограмма А, если задан n-угольник А: а есть четвертая вершина параллелограмма, натянутого на точку середину диагонали и центр тяжести А (рис. 44;

Рис. 44.

центр тяжести А есть середина отрезка, соединяющего середины диагоналей в А).

Итак, для каждого из четырех свободных циклических классов (см. § 8 гл. 1) существует изобарическая циклическая проекция, переводящая в этот класс все пространство

Теперь снова возникает общий вопрос: для всякого ли циклического класса n-угольников существует циклическая проекция, переводящая в него все пространство

Упражнения

(см. скан)

<< Предыдущий параграф Следующий параграф >>
Оглавление