Главная > Математика > n-угольники
<< Предыдущий параграф
Следующий параграф >>
<< Предыдущий параграф Следующий параграф >>
Макеты страниц

§ 2. Циклические классы

К индексам n-угольника применим раз циклическую подстановку. Мы получим n-угольники

с тем же набором вершин и сторон. Будем считать, что все они задают один геометрический n-угольник.

Если исходный n-угольник удовлетворяет уравнению

с произвольными коэффициентами то этому уравнению вовсе не должны удовлетворять все n-угольники (1). Поэтому мы ограничимся рассмотрением лишь циклических систем уравнений, т. е. однородных систем

с заданным набором коэффициентов Множество решений такой системы обладает тем свойством, что вместе с n-угольником ему принадлежит и вся последовательность (1).

Множество решений циклической системы мы назовем циклическим классом n-угольников. Из теории систем однородных уравнений следует, что циклический класс является подпространством пространства

В связи с тем что вся циклическая система (2) однозначно определяется одним из своих уравнений, мы введем сокращенную запись системы (2):

Набор элементов из К будем называть коэффициентами циклической системы, а элемент ее суммой коэффициентов.

Всякий -набор элементов из К определяет единственную систему (2), а следовательно, и единственный циклический класс. Однако разные -наборы могут определять один и тот же циклический класс. Таковы, например, наборы, различающиеся лишь общим множителем Поэтому в случае всякий циклический класс может быть описан целочисленным -набором.

Циклическая система с набором коэффициентов ( определяет множество всех n-угольников.

клическая система

определяет множество Лип тривиальных n-угольников. Множество решений циклической системы

состоит из одного n-угольника Итак, -циклические классы.

Рис. 16.

Пример. Пусть Четырехугольник называется параллелограммом, если векторная сумма противоположных сторон равна Полученную циклическую систему запишем в форме

Здесь первое равенство означает, что знакопеременная сумма вершин равна о, а остальные три равенства следуют из первого. Итак, множество параллелограммов образует циклический класс.

Для всяких трех точек точку (см. рис. 16) мы назовем четвертой вершиной параллелограмма тройки или, короче, просто четвертой вершиной тройки

Упражнения

(см. скан)

<< Предыдущий параграф Следующий параграф >>
Оглавление