Главная > Физика > Нелинейные волны
<< Предыдущий параграф
Следующий параграф >>
<< Предыдущий параграф Следующий параграф >>
Макеты страниц

1. Волны малой амплитуды

Если декартовы координаты, причем направление вертикали, то в рассматриваемом случае средняя (в отсутствие волн) плотность слоистой покоящейся жидкости зависит только от Среднее давление связано с уравнением гидростатики

где ускорение силы тяжести. Поскольку трехмерные волны бесконечно малой амплитуды могут быть получены суперпозицией двух двумерных волн, нам достаточно рассмотреть двумерное движение.

Обозначая через ниш компоненты скорости в направлениях соответственно, запишем линеаризованные уравнения движения

и

где время, возмущения давления и плотности соответственно. В уравнении (3) члены, содержащие и исчезают после подстановки (1). Уравнение непрерывности имеет вид

где

— полная плотность. Условие несжимаемости дает

где

Из соотношений (4) и (5) получаем уравнение

которое представляет собой более простую форму уравнения непрерывности. Так как -функция только уравнение (5) можно записать в форме

(если пренебречь квадратичными относительно возмущений членами). Уравнения (2), (3), (6) и (7) и являются исходными в линейной теории волн малой амплитуды в слоистой несжимаемой жидкости.

Уравнение (6) позволяет использовать вместо функцию тока полагая

Изучая волновые движения, мы предположим, что функция пропорциональна где «круговая частота» волны. Исключая из (2), (3) и (7) и используя (8), получим

где

Очевидно, что в данной точке уравнение (9) будет эллиптическим или гиперболическим в зависимости от того, какое неравенство справедливо,

Если

то уравнение (9) является эллиптическим и волновое движение невозможно. Квадратный корень из правой части формулы (11) называется частотой Брента — Вяйсяля. Если тело колеблется в слоистой жидкости с частотой, большей, чем частота Брента — Вяйсяля, то оно не создает волн в жидкости, которая колеблется вместе с телом почти так же, как однородная жидкость без свободной поверхности. Если же выполняется второе из неравенств (10), то уравнение (9) обладает в данной точке двумя действительными характеристиками и волновое движение возможно. Конечно, в одних областях жидкости может выполняться первое неравенство (10), а в остальных — второе. В таком случае уравнение (9) принадлежит к смешанному типу, и решить его в общем виде сложно. (См. [1] и более недавнюю работу [2], где обсуждается этот вопрос.)

<< Предыдущий параграф Следующий параграф >>
Оглавление