Главная > Физика > Нелинейные волны
<< Предыдущий параграф
Следующий параграф >>
<< Предыдущий параграф Следующий параграф >>
Макеты страниц

1в. Доказательство того, что w^2 - действительное число

Независимо от того, положительна ли функция или отрицательна, либо частично положительна, а частично отрицательна, разрывна ли плотность или нет, представляет собой действительное число Чтобы это доказать, заметим, что подстановка (12) в (9) дает

Заметим прежде всего, что частота не может быть равна нулю, ибо в противном случае, согласно (21), так как не равно тождественно нулю. Только после деления (21) на мы получали (17). Для доказательства того, что действительное число, нам удобнее воспользоваться (21).

Чтобы показать, что действительное число в случае непрерывной плотности, умножим (21) на функцию комплексно сопряженную и проинтегрируем, пользуясь там, где это необходимо, условиями (18); тогда получим

Из уравнения (22) следует, что действительное число, даже если меняет знак на интервале Если верхняя граница свободна, то из левой части (22) вычитается выражение

Ясно, что если плотность терпит скачок (включая свободную поверхность, если она имеется), то, используя 119) [или (20) в случае свободной поверхности], необходимо лишь вычислять последний интеграл в (22) в смысле Стильтьеса. Другими словами, если имеется слоев, в каждом из которых плотность меняется непрерывно, то нужно лишь заменить последний интеграл в (22) суммой

в которой интегрирование совершается по слоям, исключая разрывы; скачок средней плотности а индекс относится к разрыву. Величина равна если имеется свободная граница, и если такой границы нет. Рассуждая точно так же, как и в отсутствие скачков плотности, мы приходим к выводу, что действительное число.

Независимо от того, имеются ли скачки плотности или нет, если плотность везде убывает с ростом на каждом скачке, если они имеются), то как можно видеть из выражения (22), в котором при наличии скачков плотности последний интеграл берется в смысле Стильтьеса. Если плотность всюду возрастает с высотой и на всех разрывах, то из (22) следует, что Отрицательность означает, что имеются два мнимых значения одно из которых дает экспоненциально нарастающую функцию времени так что жидкость неустойчива. Если возрастает с высотой в некоторой области жидкости и убывает вне ее, то значение может быть как положительным, так и отрицательным.

<< Предыдущий параграф Следующий параграф >>
Оглавление