Главная > Физика > Нелинейные волны
<< Предыдущий параграф
Следующий параграф >>
<< Предыдущий параграф Следующий параграф >>
Макеты страниц

1г. Существование собственных значений

В отсутствие внутренних скачков плотности теория Штурма— Лиувилля, обобщенная Бохером [3], гарантирует существование собственных значений независимо от того, свободна или нет верхняя поверхность. Действительно, следующая теорема Штурма не только устанавливает это существование, но также дает важную информацию о собственных функциях (см. [3], стр. 66, 67).

Теорема Штурма — Бохера. Рассмотрим систему

в которой -всегда положительная величина, причем функции и параметра которые не возрастают при увеличении от до функции Если или но убывающая функция и если к тому же

и

то система имеет бесконечное число собственных значений расположенных между в порядке возрастания

величины. Каждая из собственных функций являющаяся решением системы для имеет на интервале число нулей, точно равное соответствующему индексу.

Заметим, что система, состоящая из уравнений (16) и (18) или (20), или из (17) и (18) или (20), удовлетворяет всем условиям системы Штурма — Лиувилля, указанным в этой теореме, если в качестве принять или Отметим также, что для граничных условий (18) число нулей на интервале для равно (Здесь Если же граничные условия имеют вид (20), то число нулей на для равно Если производная всюду отрицательна, то, как легко можно проверить, при для уравнения Аналогично при в уравнении Так как мы знаем, что при всюду отрицательной производной величины действительны и положительны и для любых значение (а также ограничено, то все собственные значения лежат между некоторым положительным числом и собственные значения или находятся между нулем и некоторой конечной положительной верхней границей.

Если производная отрицательна всюду, где плотность непрерывна, и на всех скачках плотности то, как можно показать (см. [4], стр. 48—52), собственные значения существуют. Та часть теоремы Штурма — Бохера, которая связывает индексы собственных значений с нулями собственных функций, остается справедливой, даже если имеет разрывы Это можно показать следующим способом. Пусть сначала верхняя граница фиксирована. При (или ) функция возрастает с если как это видно из (16) или (17). Следовательно, [Если то убывает с ростом и мы имеем тот же результат.] Так как это справедливо независимо от того, имеются или нет скачки средней плотности что сразу видно из граничного условия (19). При увеличении (или уменьшении обратится в нуль, когда будет достигнуто первое собственное значение (для фиксированной верхней границы). Известно, что это значение существует (см. [4], стр. 48). При прохождении последующих собственных значений число внутренних нулей каждый раз возрастает на единицу. В противном случае существуют две возможности:

1) нули могут появляться и исчезать внутри интервала;

2) прохождение значения (для любого целого не увеличивает числа внутренних нулей на единицу.

Если бы осуществилась первая возможность, то, поскольку положения нулей — непрерывные функции для данных

существовала бы стадия, на которой два (или более) нуля сливались в некоторой точке Но двойной нуль для при означал бы, что тождественно равна нулю всюду, и поэтому первый случай не может иметь места. Если бы был возможен второй случай, то имела бы двойной нуль при иначе меняла бы знак при переходе через а двойные собственные значения невозможны. Для свободной верхней границы можно показать, что убывает от положительного значения до при увеличении от нуля в сторону (первого собственного значения в случае фиксированной верхней поверхности), так что при некотором значении выполняется условие на свободной поверхности (20). Аналогично если означает собственное значение для случая фиксированной верхней границы, то при изменении от до величина убывает от до так что условие (20) выполняется для некоторого лежащего между Кроме того, поскольку нули собственной функции не могут ни появляться, ни исчезать внутри интервала и каждый раз при прохождении число внутренних нулей возрастает на единицу, то часть теоремы Штурма — Бохера, относящаяся к индексам собственных значений и внутренним нулям собственных функций, остается справедлива и тогда, когда имеются внутренние скачки средней плотности включая свободную поверхность.

Очевидно, что если производная везде положительна и на каждом скачке плотности (если они имеются), то существование собственных значений (всегда отрицательных) и соотношение между индексом собственного значения и внутренними нулями собственной функции, установленное теоремой Штурма — Бохера, следуют немедленно из этой теоремы и рассуждений предыдущего пункта, если просто положить Каждому собственному значению при постоянном соответствует, конечно, собственное значение следовательно, нет необходимости обсуждать вопрос о существовании собственных значений отдельно.

Если производная положительна в некоторой части жидкости и отрицательна в остальной, то, пользуясь теоремами сравнения Штурма, излагаемыми в следующем пункте, можно показать, что существуют две бесконечные последовательности собственных значений положительная и отрицательная, причем обе имеют предельную точку в нуле, и для каждой последовательности функция соответствующая имеет ровно внутренних нулей. Эта ситуация не меняется и тогда, когда имеются такие скачки плотности, что для одних из них а для других

<< Предыдущий параграф Следующий параграф >>
Оглавление