Главная > Физика > Нелинейные волны
<< Предыдущий параграф
Следующий параграф >>
<< Предыдущий параграф Следующий параграф >>
Макеты страниц

1д. Изменение w^2 и c^2 при изменении k^2

Как и в случае однородной жидкости, при распространении гравитационных волн в слоистой жидкости имеет место дисперсия, т. е. скорость таких волн является функцией Что это должно быть так, можно видеть из уравнения (16) или (17) и из граничных условий. Не вдаваясь в детальные расчеты, которые невозможны, пока не конкретизирована средняя плотность можно показать, что всегда убывает при возрастании Для этого нам потребуется теорема сравнения Штурма. Рассмотрим две системы (см. [2], стр. 58—63):

где функции (а также, возможно, и некоторого параметра), причем

Предполагается, что

и что ни в какой части интервала не справедливы ни равенства ни равенства Кроме того, предполагается, что если то и

Если дополнительные предположения не нужны. При этих условиях справедливы следующие теоремы сравнения Штурма:

Первая теорема сравнения Штурма. Если имеет некоторое число нулей в интервале то имеет по меньшей мере столько же нулей, причем, если нули в порядке возрастания, то же самое для то

для всех значений соответствующих нулям функций

Вторая теорема сравнения Штурма. Если в дополнение к сделанным выше предположениям считать, что то

при условии, что имеют одинаковое число нулей в интервале

Теперь мы в состоянии видеть, как меняются или с изменением Прежде всего рассмотрим устойчивую слоистую жидкость без внутренних скачков плотности. Если верхняя граница фиксирована, то из первой теоремы сравнения Штурма можно заключить, что для той же моды, т. е. для фиксированного числа нулей собственной функции в интервале убывает с возрастанием Действительно, если то

и если при находится нуль то здесь не может быть нуля который должен быть расположен в Следовательно, либо не исчезает при нарушая тем самым граничное условие, либо имеет по крайней мере на один нуль больше, чем в интервале Следовательно, если мы должны иметь Этот результат установлен впервые Грозном [5].

Если верхняя граница свободна, применение второй теоремы сравнения Штурма приводит к такому же результату (см. [4], стр. 32, 33).

Если имеются разрывы плотности, но плотность нигде не возрастает (непрерывно или скачком) с ростом то такой же результат получается повторными применениями теорем сравнения Штурма. Однако этот метод громоздок и неудобен для изложения. Поэтому мы дадим новое, более изящное доказательство теоремы о том, что убывает с ростом . В частности, таким образом можно показать, что возрастает вместе с Рассмотрим (16) совместно с (18) и (19) или с (19) и (20). Пусть величина увеличилась на и пусть соответствующее изменение есть Тогда удовлетворяет уравнению

Граничным условием для будет на жесткой границе и

- на свободной. Аналогично можно получить условия для на поверхностях внутренних разрывов плотности. Умножим теперь (16) на проинтегрируем (последовательно в каждом слое, если имеются разрывы плотности) от нуля до и воспользуемся граничными условиями для .

Полученная таким образом разность двух уравнений (с последним интегралом, понимаемым в смысле Стильтьеса, если есть скачки плотности) имеет вид

Поскольку первый интеграл в (24) положителен, а второй отрицателен, то из (24) следует, что

Заметим, что поскольку неравенство (25) получено для таких возмущений которые не меняют моды, оно имеет место только для данной моды. В этом заключается простота подхода. Можно также показать, что для одной и той же моды

Для этого необходимо лишь заменить (16) на (17), а (23) на

и заметить, что из умножения (17) на и интегрирования следует

После этого повторением предыдущих рассуждений получаем (26).

Если выбрать к и с положительными, то частота также положительна, а (26) и (25) можно заменить на

Так как это групповая скорость С, неравенство (28) показывает, что она имеет то же направление, что и с, а из (27) следует

Для гравитационных волн в однородной жидкости неравенство означает отсутствие волн, распространяющихся вверх по течению от препятствия, помещенного в однородное по

скорости течение или движущегося в покоящейся слоистой жидкости.

Мы рассмотрели лишь распространение нормальных мод в направлении Исследование вопроса о направлении групповой скорости при двумерном распространении волн в плоскости (а не только в направлении ) приводит к некоторым неожиданным и любопытным результатам [2, 6].

<< Предыдущий параграф Следующий параграф >>
Оглавление