Главная > Физика > Нелинейные волны
<< Предыдущий параграф
Следующий параграф >>
<< Предыдущий параграф Следующий параграф >>
Макеты страниц

3. Устойчивость

Поскольку волны могут генерироваться в результате неустойчивости слоистого течения, уместно обсудить вопрос об устойчивости последнего. Мы ограничимся здесь обсуждением результатов общего характера.

Так как вопрос об устойчивости или неустойчивости трехмерных возмущений в слоистой жидкости может быть решен с помощью рассмотрения двумерных возмущений в течении с некоторой преобразованной средней скоростью [20], мы рассмотрим только двумерные возмущения.

Для удобства будем далее везде использовать для вертикальной координаты обозначение у вместо а для вертикальной компоненты скорости о вместо Если средняя скорость в -направлении, обозначаемая есть непрерывная функция

у, а компоненты возмущений скорости в направлениях возрастания соответственно обозначаются через по-прежнему средняя плотность, то линеаризованные уравнения движения принимают вид

где возмущение давления, возмущение плотности, а штрих обозначает дифференцирование по у. Уравнение непрерывности

вновь позволяет воспользоваться функцией тока так что

Линеаризованное условие несжимаемости принимает вид

Если вертикальное отклонение линии постоянной плотности от среднего положения, то кинематическое уравнение для этой линии имеет вид

Предполагается, что возмущения всех величин имеют множитель который полностью описывает их зависимость от и Тогда (52) и (50) дают

а из (48) и (51) получаем

Если

то подстановка (53) и (54) в (49) дает

где

Уравнение (55) и граничные условия составляют систему, позволяющую исследовать устойчивость. Собственное значение с может быть комплексным. Пусть Если то течение неустойчиво. Легко проверить, что (независимо от того, свободна верхняя граница или нет, и независимо от существования внутренних скачков плотности) граничные условия, как и

уравнение (55), не содержат явно мнимого числа Следовательно, если — собственное значение, то и комплексно сопряженное с — тоже собственное значение. Следовательно, если с — комплексная величина, то имеется собственное значение с с положительным с и течение неустойчиво.

Вместо того чтобы пользоваться уравнением (55) для можно получить уравнение для полагая

и пользуясь соотношениями (50), (48) и (49). Исключая из (48) и (49), получаем

Можно, конечно, использовать (56) и первое из уравнений (53), откуда следует

Подставив это в (55), снова получим (57).

Если верхняя граница фиксирована, то граничные условия для соответственно принимают вид

<< Предыдущий параграф Следующий параграф >>
Оглавление