Главная > Физика > Нелинейные волны
<< Предыдущий параграф
Следующий параграф >>
<< Предыдущий параграф Следующий параграф >>
Макеты страниц

3г. Достаточные условия неустойчивости

Пусть В — коэффициент при в уравнении (64), минимум, максимум функции в интервале причем Для удобства изложения мы сформулируем три условия, или предположения, часть из которых или все встретятся ниже.

а) - непрерывные и аналитические функции, и в любой точке, где обращается в нуль, также обращается в нуль

Заметим, что если выполняется предположение то функция должна обращаться в нуль там, где обращается в нуль поскольку не может возрастать с ростом из-за неравенства Кроме того, в случае выполнения условия уравнение (64) не имеет особенностей, если и можно применять теорию Штурма — Лиувилля. С помощью этой теории нетрудно получить следующие две теоремы [2]:

Теорема 3. Если выполняются предположения то имеется по крайней мере мод, для которых а а возрастают с номером Для моды имеется по крайней мере внутренних нулей собственной функции

Теорема 4. Если выполняются предположения то имеется точно мод с с возрастающими с номером Для моды имеется точно внутренних нулей собственной функции.

С помощью аргументов, аналогичных использованным Лином [24], можно показать, что если немного отклонить а от любого из значений упомянутых в теоремах 3 и 4, то с становится комплексным. Тогда мы имеем следующую теорему:

Теорема 5. Вблизи нейтральных мод, предусмотренных теоремой 3, имеются смежные неустойчивые моды. Другими словами, если выполняются условия течение неустойчиво.

Между прочим, теоремы 3 и 4 объясняют, почему граница устойчивости на плоскости может быть многозначной по а при одном и том же значении как это было найдено Майлсом [25].

<< Предыдущий параграф Следующий параграф >>
Оглавление