Главная > Физика > Нелинейные волны
<< Предыдущий параграф
Следующий параграф >>
<< Предыдущий параграф Следующий параграф >>
Макеты страниц

1. Нелинейные уравнения, связанные с линейными операторами

Известно, что спектр оператора Штурма — Лиувилля

не определяет потенциала и единственным образом, для данного и существует много других потенциалов и, таких, что оператор унитарно эквивалентен

Мы начнем с незначительной части этой задачи: найдем такие однопараметрические семейства потенциалов для которых все члены однопараметрического семейства операторов унитарно эквивалентны. Это означает, что существует такое однопараметрическое семейство унитарных операторов что произведение

не зависит от Здесь оператор, сопряженный к Дифференцируя (2) по получаем

Однопараметрическое семейство унитарных операторов удовлетворяет дифференциальному уравнению вида

где — антисамосопряженный оператор:

Выполняя над (4) операцию сопряжения, получаем

Подставляя (4) и (6) в (3), после умножения на слева и на справа, находим

В нашем случае, когда мы либо накладываем периодические граничные условия, либо имеем дело с функциями на всей оси для которых граничные условия не нужны, имеем

Итак, чтобы решить уравнение (7), мы должны отыскать такие антисимметричные операторы В, коммутатор которых с [определенный согласно (7)] есть оператор умножения. Таким оператором является

При периодических граничных условиях операторы коммутативны, так что

Уравнение (7) принимает вид

и мы заключаем из общего результата (7), что функции и удовлетворяют (9), то вид унитарно эквивалентных операторов (1) не изменится. Это тривиальный результат, так как решения (9) имеют вид и Изменение потенциала, согласно (9), — просто трансляция, что при периодических граничных условиях, очевидно, приводит к эквивалентному оператору. Нетривиальный результат получается при

где функция, которую нужно выбрать подходящим образом. Краткое вычисление дает

Очевидно, выбор в виде

обращает в нуль коэффициенты при так что является оператором умножения. Из общей теоремы мы заключаем, что если и изменяется в соответствии с уравнением

то операторы унитарно эквивалентны.

Можно обобщить этот процесс и выбрать в качестве В любой оператор вида

Заметим, что оператор автоматически получается антисимметричным; это столь же автоматически делает симметричным оператор

Оператор при произвольных функциях дифференциальный оператор степени требование, чтобы он имел нулевую степень, накладывает условий, которые единственным образом определяют функций как результат действия на и нелинейных дифференциальных операторов. Член нулевого порядка имеет вид где нелинейный оператор. Отсюда мы заключаем, что если и изменяется в соответствии с уравнением

то операторы задаваемые выражением (1), унитарно эквивалентны.

Описанная здесь процедура имеет весьма общее значение. Например, если мы заменим скалярный оператор (1) оператором в виде матрицы второго порядка, где потенциал и дается симметричной матрицей то мы можем получить матричный аналог уравнения (11). Обобщение другого рода получается, если мы выберем в качестве оператор четвертого порядка

тогда, выбирая В в виде

при

получаем в виде оператора второго порядка

где

Следовательно, наша общая теорема показывает, что если изменения подчиняются уравнениям

то операторы задаваемые формулой (12), являются унитарно эквивалентными.

До сих пор этот метод не распространялся на операторы содержащие большее число пространственных переменных.

Теперь мы вернемся к оператору задаваемому формулой (1); его собственные значения являются функционалами от потенциала и. Из того что унитарно эквивалентные операторы имеют одни и те же собственные значения, следует, что собственные значения (8)

являются инвариантными функционалами, так называемыми интегралами дифференциальных уравнений (11).

Для простейшего и наиболее важного из них уравнения обнаружили совершенно другим путем Гарднер, Грин, Крускал и Миура [1], о чем говорилось в гл. VIII.

Существует несколько причин, по которым мы заинтересованы в нахождении всех интегралов эволюционного уравнения. Во-первых, эти интегралы являются сохраняющимися величинами и, следовательно, могут иметь непосредственный физический смысл. Полная масса, момент импульса, ловой момент, энергия и заряд — прекрасные примеры физически важных сохраняющихся величин.

Во-вторых, сохраняющиеся величины являются важным инструментом в руках математиков. Они позволяют получать априорные оценки, которые лежат в основании любой теоремы существования (за исключением тех случаев, когда решение может быть записано в явном виде). Например, теория существования решений для гиперболических уравнений может быть основана исключительно на законе сохранения энергии. Следовательно, целесообразно попытаться вывести априорные оценки и из других интегралов.

Здесь мы покажем на примере уравнения (10), что, зная величины интегралов (13), можно получить интересную информацию о поведении решения и при больших Используя простое преобразование масштабов для и их, легко привести (10) к более знакомому виду:

полученному Кортевегом и де Вризом при описании поверхностных волн на воде (см. гл. IV). Известно, что это уравнение имеет решение в виде уединенной волны, т. е. где Для каждой положительной скорости такая волна существует и единственна с точностью до произвольного сдвига по Пользуясь этим, мы положим, что в точке симметрии функции

Забуский и Крускал [2] сделали замечательное открытие: все решения уравнения Кортевега — де Вриза определенные на всей оси и обращающиеся в нуль при содержат уединенные волны, т. е. каждому такому решению соответствует конечное число скоростей которые можно назвать собственными скоростями, для и, так что

Смысл (15) заключается в том, что для больших в окрестности точки функция и ведет себя как уединенная волна, распространяющаяся со скоростью и сдвинутая по на

Скорости являются функционалами решения, причем ясно, что инвариантный функционал.

Гарднер, Грин, Крускал и Миура [1] показали, что эти инвариантные функционалы, по существу, совпадают с теми, которые были найдены выше (13):

Мы представим простое доказательство одной части этого утверждения [3], а именно: если с, удовлетворяют (15), то являются собственными значениями оператора [множитель обусловлен преобразованием масштаба в уравнении (10)].

Прежде всего покажем, что Это может быть сделано с помощью прямой проверки того факта, что равенство

выполняется при Предположим теперь, что имеет место (15), тогда для больших имеем

в достаточно большой окрестности точки Следовательно, равенство

приближенно выполняется на этом интервале при

Вне этого интервала левая и правая части (16) малы и быстро стремятся к нулю. Следовательно,

где при Согласно спектральной теории, из (17) следует, что в спектре оператора существует такая точка что

Поскольку мы уже показали, что спектр оператора не зависит от отсюда следует, что содержится в спектре будучи положительной величиной, является точкой дискретного спектра

В этом доказательстве мало использовались конкретные особенности уравнения (14). Другой ряд инвариантных функционалов для (14) может быть построен из бесконечного ряда законов сохранения, которые могут быть выведены из (14). Они описаны в работе Миуры и др. [4].

Та же замена переменных, которая переводит (10) в (14), а оператор (1) в

превращает оператор В в

Данный вывод можно использовать, чтобы выяснить более приемлемым путем, чем в гл. VIII, как собственные функции оператора меняются в зависимости от Обозначим через собственную функцию оператора т. е.

Поскольку вводится так, что выражение (2) не зависит от мы находим (предполагая что для любого

Умножая на и вводя обозначение

получаем соотношение

которое показывает, что собственные функции оператора связаны с собственными функциями оператора соотношением (20). Дифференцируя (20) по и используя дифференциальное уравнение (4), которому удовлетворяет мы приходим к уравнению

В нашем случае, когда В определяется выражением (19), отсюда следует, что удовлетворяет уравнению

Теперь удовлетворяет уравнению на собственные значения

Дифференцируя это уравнение по умножая на 4 и вычитая из (21), имеем

т. е. для получается уравнение первого порядка.

На бесконечном интервале для функции и, которая достаточно быстро стремится к нулю при оператор задаваемый формулой (18), имеет конечное число положительных собственных значений и непрерывный спектр отрицательных действительных чисел. Каждой точке из непрерывного спектра можно поставить в соответствие две неправильные собственные функции, каждая из которых является решением уравнения

Мы уже видели, что правильные собственные функции оператора удовлетворяют дифференциальному уравнению (22). Нетрудно показать и обратное.

Лемма 1. Пусть решение уравнения

которое при удовлетворяет условию

Тогда удовлетворяет уравнению

для всех

Доказательство. Определим следующим образом:

Тогда уравнение (24) можно переписать в виде

где В определяется из (19). Вычислим теперь . С помощью (25) получаем

Используя тождество (7), в соответствии с которым после группировки членов получаем

Это уравнение можно переписать в виде

Так как по предположению а решения (26) единственным образом определяются своими начальными значениями, то для любого как и утверждается в лемме 1.

Известно, что если и достаточно быстро стремится к нулю при то решением (23) будет линейная комбинация и Предположим, что мы нормировали функцию так, что она образована плоской, волной единичной амплитуды, приходящей, скажем, слева и рассеянной потенциалом

Величина называется коэффициентом отражения, а -коэффициентом прохождения.

Как меняется со временем асимптотическое поведение при Для больших можно записать

и пренебречь и их в (24). Тогда получим

отсюда следует

Учитывая начальные значения (27) для мы заключаем, что функция

при любом представляет плоскую волну единичной амплитуды, приходящую слева и рассеиваемую потенциалом

Это асимптотическое представление показывает, что коэффициент прохождения для оператора не зависит от а коэффициент отражения меняется с экспоненциально:

Дальнейшие детали могут быть найдены в работе Лэкса [5]. Впервые этот результат был получен Гарднером и др. [1]. Анализ, проведенный в гл. VIII, показывает, что для решения начальной задачи уравнения Кортевега — де Вриза (14) можно использовать следующий метод, основанный на соотношении (28).

Задавая начальное значение можно определить точечный спектр собственных значений, а также коэффициенты отражения и прохождения для оператора Используя предыдущие результаты, мы заключаем, что имеет те же точечные собственные значения, что и и его коэффициент отражения дается выражением (28). Используя для решения обратной задачи метод Гельфанда — Левитана, мы можем восстановить потенциал входящий в оператор

Предположим, что и подчиняется линейному эволюционному уравнению

Пусть собственная функция оператора А, т. е.

Тогда линейный функционал экспоненциально зависит от

Проведенный анализ дает семейство нелинейных функционалов которые меняются экспоненциально по если и удовлетворяет уравнению Кортевега — де Вриза,

<< Предыдущий параграф Следующий параграф >>
Оглавление