Главная > Физика > Нелинейные волны
<< Предыдущий параграф
Следующий параграф >>
<< Предыдущий параграф Следующий параграф >>
Макеты страниц

3. Волны на мелкой воде и уравнение Кортевега — де Вриза

В задачах о волнах на воде обычно исходят из класса уравнений эллиптического типа, которые вообще считаются не совместимыми с явлениями распространения волн. Распространение волн на воде — это поверхностное явление, которое связано не с природой гидродинамических уравнений, а обусловлено граничными условиями. Движение жидкости в отсутствие вязкости и сил, вызывающих вращение, при условии, что начальное возмущение безвихревое, описывается уравнением Лапласа. При таких допущениях, а также в предположении, что движение является двумерным, уравнения, которые нам нужно рассмотреть, — это уравнение Лапласа

и уравнение Бернулли

последнее уравнение связывает потенциал скорости давление (деленное на плотность и ускорение свободного падения , направленное в сторону отрицательных у. Пусть невозмущенная свободная поверхность расположена на высоте над твердым дном уравнении (42) функция произвольна и может быть исключена переопределением Для вектора скорости имеем

Соответствующее граничное условие в отсутствие вязкости и поверхностного натяжения записывается в виде

(нет потока жидкости через дно); при этом на свободной поверхности должны выполняться условия постоянства давления и, кроме того, кинематическое условие, которое требует, чтобы частицы, расположенные на поверхности жидкости, всегда оставались на ней. Последние два условия можно

записать в виде уравнений

и

где звездочкой обозначены функции, найденные при Если мы сперва вычисляем давление на свободной поверхности и затем дифференцируем по то получается выражение, отличающееся множителем от производной вдоль свободной поверхности, которая должна обращаться в нуль.

Полагая в уравнении Бернулли при , получаем условие

<< Предыдущий параграф Следующий параграф >>
Оглавление