Главная > Физика > Нелинейные волны
<< Предыдущий параграф
Следующий параграф >>
<< Предыдущий параграф Следующий параграф >>
Макеты страниц

3б. Длинноволновое приближение

Задачи о волнах на мелкой воде соответствуют случаю, когда длина исследуемой волны I велика по сравнению с глубиной воды или Поскольку то условие мелкой воды записывается как При этих условиях дисперсионное соотношение (48) хорошо аппроксимируется несколькими членами его разложения в ряд Тейлора:

Поскольку фазовые скорости определяются выражением

и, следовательно, представляют скорости распространения очень длинных волн. В этом приближении дисперсионное соотношение имеет вид т. е. в данном предельном случае

дисперсия отсутствует. Однако если учесть члены с малым, но конечным то для фазовых скоростей получим

Отсюда мы виднм, что если пренебречь в разложении функции членами порядка то дисперсионному соотношению соответствует (см. гл. V, стр. 152) дифференциальное уравнение

которое представляет собой линеаризованное уравнение Кортевега — де Вриза.

Основная идея теперь состоит в том, чтобы учесть ненулевую амплитуду а также ненулевое волновое число используя нечто вроде разложения вблизи решения, соответствующего Это впервые было сделано Кортевегом и де Вризом [13]. При этом удобно перейти к безразмерным величинам, используя «естественные» физические масштабы, соответствующие линейному случаю. Определим следующие величины:

и разложим в ряд по степеням :

Уравнение Лапласа в безразмерных координатах записывается в виде

Подставляя сюда разложение можно показать, что решение для удовлетворяющее граничному условию записывается в виде

а удовлетворяет соотношению

Определяя функцию и используя граничные условия (45) и (46), получаем уравнения

и

которые соответствуют приближению Буссинеска [14] для мелкой воды.

Для решения уравнений (49) применим метод, изложенный в разд. 2 (при этом обозначим

Собственные значения матрицы Со равны Выберем и рассмотрим волну, бегущую вправо, обозначая

Это позволяет записать вектор и в виде

где скалярная функция должна удовлетворять следующим условиям разрешимости:

и

«Реконструированное» отсюда уравнение Кортевега — де Вриза ваписывается в виде

Если то поведение функции во времени определяется, уравнением (506), причем преобладает зависимость от медленного времени Линейное уравнение (506) описывает волны с дисперсией, поэтому уменьшается со временем по мере того, как возмуидение расплывается. Следовательно, нелинейный член представляет собой всегда лишь небольшую

поправку в уравнении (51), которое с хорошей точностью можно заменить уравнением (506) для всех значений времени.

Однако если то нельзя получить правильного описания процесса для всех значений времени с помощью только одного из двух уравнений (50). В этом случае вначале изменяется во времени в соответствии с (50а), т. е. преобладает изменение, связанное с медленным временем В зависимости от -начального» возмущения величины рассматриваемой как функция от величина либо будет представлять собой семейство расплывающихся простых волн, либо иметь участки с нарастающей крутизной и стремиться стать неоднозначной. В последнем случае, который, в частности, имеет место для любого начального возмущения величины стремящегося к нулю при получаемое таким образом решение справедливо только на конечном интервале времени. Ясно, что по мере увеличения крутизны волны производные по X значительно возрастают и в конечном счете член должен стать сравнимым с Для таких интервалов времени мы должны использовать полное уравнение (51). Если многозначность решений уравнения (50а) должна устраняться с помощью ударных волн, как это было показано в разд. 2, то из (51) должны вытекать соответствующие законы сохранения, связывающие величины по обе стороны от разрыва. Это означает, что уравнение (50а) следует рассматривать как частный случай более общего уравнения (51).

Тогда возникает вопрос: допускает ли включение уравнения (50а) в (51) образование ударных волн? Чтобы ответить на такой вопрос, перепишем уравнение (51), положив

В результате получаем следующее уравнение:

В случае, представляющем интерес, и .мы хотим выяснить, стремятся ли решения уравнения (52) при к ударным волнам, которые являются решениями предельного уравнения при Мы рассмотрим этот вопрос в

<< Предыдущий параграф Следующий параграф >>
Оглавление