Главная > Физика > Нелинейные волны
<< Предыдущий параграф
Следующий параграф >>
<< Предыдущий параграф Следующий параграф >>
Макеты страниц

Глава VI. Сохранение волнового действия

Уоллес Д. Хейес

Волны, как они понимаются в настоящей главе, — это динамические колебательные процессы в сплошной среде. Они описываются решениями уравнений «динамики» в широком смысле этого слова. Эти решения соответствуют колебаниям в том смысле, что (с незначительными оговорками) они почти периодически зависят от некоторой гладкой функции независимых переменных, называемой фазой. Поскольку среда сплошная, в число независимых переменных вместе с временем входят пространственные координаты, а динамические уравнения, которым удовлетворяют волновые решения, имеют вид дифференциальных уравнений в частных производных.

Основная задача теории распространения волн — предсказать главные свойства волнового движения в последующие моменты времени, если известны начальные условия. Для этого нужны уравнения, описывающие изменение в пространстве и времени интенсивности, частоты и волнового числа волн. В такой теории действуют два основных фактора: 1) существует некоторая фазовая переменная, временная и пространственные производные которой интепретируются как локальные частота и волновое число, 2) поведение интенсивности может быть описано уравнением в форме закона сохранения. В настоящей главе обсуждаются идеи, лежащие в основе таких законов сохранения, и аналоги этих понятий в дискретных системах.

Волны, которые здесь рассматриваются, консервативны в том смысле, что они подчиняются уравнениям, которые вытекают из вариационного принципа, содержащего лагранжиан. Из вариационного принципа можно получать уравнения и некоторых диссипативных систем, подбирая им в пару системы с отрицательной диссипацией, однако мы таких систем не рассматриваем. В некоторых случаях для обсуждаемых здесь волновых систем имеет место закон сохранения энергии, но в общем случае сохраняющуюся энергию определить нельзя. Однако некоторый закон сохранения все же выполняется, а именно закон сохранения волнового действия. Правда, понятие действия может быть етрого определено только для ограниченного класса решений,

поэтому в произвольном случае нельзя записать какого-либо закона сохранения. Однако такой закон выполняется асимптотически по отношению к некоторому малому параметру, и в этом смысле действие называют адиабатическим инвариантом. Существенной особенностью понятия действия является то, что оно связано с усреднением по фазе.

Многие понятия, применяемые к волнам, используются также в теории колебаний системы с сосредоточенными параметрами. Поскольку смысл понятия действия несколько проще выяснить для систем с единственной независимой переменной — временем, мы сначала рассмотрим сосредоточенную колебательную систему. Потребуем, чтобы она была консервативной в том же смысле, что и выше, т. е. удовлетворяла вариационному принципу.

Наш подход отличается в некоторых деталях от подхода Уизема (см. гл. V, разд. 8). Там, где Уизем усредняет по фазе, используя метод «двух времен», мы усредняем по фазовому сдвигу, который определяет некоторое семейство решений. Важно отметить, что это отличие от теории Уизема совершенно не сказывается на алгоритме решения. На практике нет различия между усреднением по фазе и по фазовому сдвигу. В нашем подходе основной закон сохранения является точным, а не адиабатическим, и асимптотический характер теории обусловлен выделением семейства решений, связанных между собой посредством фазового сдвига [1]. Наш подход позволяет также естественным образом ввести определение локальной плотности и потока действия и в тех задачах, где волны относятся к общему типу, в частности обладают поперечной структурой (см. разд. 6).

<< Предыдущий параграф Следующий параграф >>
Оглавление