Главная > Физика > Нелинейные волны
<< Предыдущий параграф
Следующий параграф >>
<< Предыдущий параграф Следующий параграф >>
Макеты страниц

3. Взаимодействия поверхностных гравитационных волн

Как указывалось выше, для чисто гравитационных волн резонансные взаимодействия второго порядка отсутствуют. Возникает вопрос: возможны ли резонансные взаимодействия более высоких порядков?

Для поверхностных волн нелинейные члены появляются в результате разложения в ряд Тейлора условий на свободной поверхности, а эти разложения содержат члены всех порядков. В символическом виде можно записать

Квадратичные члены приводят к суммам и разностям пар волновых чисел и частот, ни одна из которых не дает резонансного вклада. С другой стороны, кубичные члены приводят к функциям (вынуждающим силам), содержащим суммы и разности трех волновых чисел и частот, и если они совпадут с естественной парой волновое число — частота, соответствующей свободной поверхностной волне, то в этом порядке возможен резонанс.

Фиг. VII. 5. Диаграмма на плоскости частота — волновое число, иллюстрирующая резонансную четверку волновых чисел при взаимодействии поверхностных гравитационных волн.

Другими словами, условия резонанса третьего порядка имеют вид

Слегка изменив изложенный выше графический метод, можно показать, что решения этой системы уравнений действительно существуют. На фиг. VII. 5 начало координат О выбрано так, что вектор, проведенный к любой точке на дисперсионной кривой, дает пару волновое число — частота для волн на свободной поверхности. Если мы выберем новое начало координат О, которое не лежит на этой кривой, и построим дисперсионные кривые (для всех знаков относительно этого нового

начала координат, то эти кривые пересекут первоначальную дисперсионную кривую в двух или более точках. Любой вектор, соединяющий это новое начало координат с новыми дисперсионными кривыми, также дает пару волновое число — частота для свободных поверхностных волн, и если мы соединим две указанные точки пересечения кривых с началами координат то получим систему из четырех векторов, образующих замкнутый четырехугольник, причем соответствующие волновые числа и частоты удовлетворяют резонансным условиям. В данном примере

Двумерная диаграмма на фиг. VII. 5 представляет собой в действительности сечение поверхности, аксиально-симметричной относительно оси Частота свободных поверхностных волн зависит от длины волнового вектора к, но не зависит от его направления. Фиг. VII. 5 представляет собой сечение двух пересекающихся рупорообразных поверхностей, а полное множество волновых чисел определяется геометрическим местом возможных точек пересечения. Более компактно это показано на фиг. VII 6, которая представляет проекцию точек пересечения на плоскость волновых векторов с фиксированным началом координат в точке О. Для каждой точки О, выбранной достаточно близко к дисперсионной кривой, геометрическое место точек пересечения дается парой петель, окружающих проекции на плоскость волновых чисел.

Фиг. VII. 6. Диаграмма взаимодействия на плоскости волновых чисел для поверхностных гравитационных волн. Любые две точки на одной и той же кривой (или на сопряженной паре кривых внутри «восьмерки» определяют четыре вектора, которые могут определять резонансного взаимодействия

Если начало координат О движется вертикально, то проекция линий пересечения расширяется и приобретает форму «восьмерки», когда обе поверхности касаются в средней точке между а затем превращается в один контур. Семейство кривых, представленных на фиг. VII.6, таково, что если выбрать две произвольные точки, лежащие на одной кривой, то волновые векторы соединяющие эти точки с образуют резонансный квартет, в котором возможен обмен энергией между его компонентами. В этом случае взаимодействия вновь избирательны: не всякий набор четырех волновых векторов, образующих замкнутый четырехугольник, способен к резонансному обмену энергией. Такой обмен ограничивается множеством, определяемым построенным семейством кривых.

Уравнения, описывающие взаимодействия в случае резонансов третьего порядка, более сложны, чем простые уравнения для резонансов второго порядка. Они могут быть найдены тем же самым способом и записаны в виде

Подобные уравнения были впервые получены Бенни [8]. Члены, стоящие справа, могут быть двух типов. Первые, входящие с матричными коэффициентами (которые являются действительными функциями, зависящими только от конфигурации волновых векторов), связаны с фазовыми изменениями, которые видоизменяют энергетический обмен, хотя и не нарушают его. Все члены в скобках действительны, поэтому их комбинация представляет скорости изменения комплексных амплитуд которые всегда отличаются по фазе на 90° от следовательно, эти члены ответственны за поворот во времени комплексного вектора в то время как его амплитуда остается постоянной. Другими словами, эти члены описывают изменение частоты волны в результате взаимодействия, или, что то же самое, учитывают влияние амплитуды волны на дисперсионное соотношение. В частности, диагональные члены описывают с точностью до членов третьего порядка «самовоздействие» волны, приводящее к возрастанию фазовой скорости на (без суммирования по индексу); этот эффект был открыт Стоксом в 1847 г. Недиагональные члены описывают изменения фазовых скоростей в результате взаимного влияния пар волн — эффект, отмеченный Лонге-Хиггинсом и Филлипсом [9]. Последние члены

в (13) описывают перераспределение энергии между различными компонентами. Действительный коэффициент входящий во все уравнения, является сложной алгебраической функцией волновых чисел порядка

Уравнения (13) допускают ряд простых интегралов. Три из них таковы:

Так как плотность энергии моды есть (без суммирования по индексу), то эти интегралы определяют распределение общей энергии между четырьмя модами. Как видно из и условий резонанса (12), общая энергия четырех мод постоянна. Одна пара получает энергию за счет другой. Если в некоторый момент времени энергия первой волны увеличивается, то она также увеличивается для второй волны за счет волн 3 и 4. В этом «кубичном» случае время взаимодействия будет представлять собой величину порядка (крутизна склона) умноженную на характерный период волны, т. е. взаимодействия не только избирательны, но и весьма слабы.

Тем не менее отсутствие значительной вязкой диссипации создает заманчивую перспективу наблюдения подобных взаимодействий в лаборатории. Были выполнены две группы экспериментов, одна — Лонге-Хиггинсом и Смитом [10], другая — по методу Лонге-Хиггинса [11] — Мак-Голдриком и др. [12].

На фиг. VII. 7 показана самая удобная для эксперимента конфигурация волновых векторов, соответствующая петле-восьмерке на фиг. VII. 6. Волны с ортогональными волновыми векторами возбуждаются механически с помощью плунжеров, расположенных на двух смежных сторонах прямоугольной ванны (фиг. VII. 8). Волна с волновым вектором воздействует сама на себя и на волну образуя волну с

Фиг. VII.7. Резонансная петля для триад взаимодействующих гравитационных волн на глубокой воде.

Фиг. VII. 8. План ванны, используемой для исследования взаямодействия поверхностных волн.

Если частота основной волны такова, что лежит на петле-восьмерке, то условия резонанса выполнены и волна с волновым вектором растет и распространяется по ванне, поглощаясь на ее отлогих стенках.

Для такого процесса, в котором волновой вектор выступает дважды, общие уравнения взаимодействия имеют вид

Соответствующие алгебраические выкладки приведены в работе [12]. Из (15) сразу же следуют два независимых интеграла

Отсюда видно, что рост компоненты с волновым вектором сопровождается ростом компоненты с волновым вектором причем обе растут за счет компоненты с волновым вектором .

В экспериментах время взаимодействия равнялось всего нескольким волновым периодам и было много меньше, чем указанное выше время умноженное на период волны, поэтому амплитуда третьей компоненты была всегда мала по сравнению с двумя другими амплитудами. В этом случае последнее из уравнений (15) сводится к виду

Так как можно считать постоянными на этом малом интервале времени, то

При этих условиях амплитуда третьей компоненты является линейной функцией времени, в течение которого происходит взаимодействие. В эксперименте амплитуда была пропорциональна расстоянию на которое распространяется энергия третьей волны за время взаимодействия, и, как показано в [10], решение может быть выражено в эквивалентном виде:

где коэффициент взаимодействия является функцией отношения частот исходных волн и угла их пересечения. Для конкретной конфигурации, исследуемой в эксперименте, отношение частот составляло

Эти выражения определяют рост третьей волны в том случае, когда резонансные условия выполнены точно. Однако, как и для всех резонансных явлений, вблизи резонансной точки существует некоторая полоса волновых чисел, которые участвуют во взаимодействии. Ширина этой полосы уменьшается, т. е. резонанс становится более резким, по мере того, как возрастает расстояние взаимодействия. Для волновых чисел, близких (но не равных точно) к резонансному, мы имеем

где характеризует расстройку на плоскости волновых чисел. Для конфигурации, изучавшейся экспериментально, Подробный вывод этого выражения дается в работе [10].

Некоторые результаты экспериментов приведены на последующих фигурах.

Фиг. Vll. 9. Спектр волн в вапне по измерениям Лонге-Хиггинса и Смита [10].

Квадраты коэффициентов Фурье показаны в виде функции числа Отношение частот настроено в резонанс [14]

На фиг. VII. 9 показан спектр волн в ванне для случая, когда отношение частот исходных волн соответствует резонансу. Две самые большие компоненты относятся, конечно, к исходным волнам. Однако следующей по величине является возрастающая резонансная в третьем порядке волна, образованная в результате взаимодействия двух исходных волн. Амплитуда этой компоненты больше, чем любой другой, получаемой в результате взаимодействий, несмотря на то что это эффект третьего порядка, а расстояние взаимодействия мало. На фиг. VII. 10 показаны результаты аналогичных измерений, проведенных Мак-Голдриком и др. Форма кривых около пиков близка к характеристикам используемых фильтров, а спектр волн соответствует линиям, показанным на диаграмме.

Фиг. VII. 10. Спектры волн в ванне, измеренные Мак-Голдриком и др. [12] в случае резонанса и в его отсутствие

На отношение частот настроено в резонанс, и мы снова видим, что компонента с частотой сравнима по величине или больше любой другой компоненты второго порядка, получаемой при взаимодействии. Однако при расстройке от резонанса (фиг. VII. 10,6) это уже не наблюдается, и компоненты третьего порядка отступают на задний план.

На фиг. VII. 11 представлены результаты измерения амплитуды третьей компоненты по мере того, как отношение частот проходит через резонанс. Можно видеть, что ширина резонансной полосы становится уже с ростом расстояния взаимодействия. Отклонение резонансного отношения частот от теоретического значения 1,736 является следствием амплитудной дисперсии, т. е. того факта, что частота волн при заданном волновом числе слегка возрастает с увеличением крутизны склона волны.

Эксперименты Лонге-Хиггинса и Смита [101 проводились при гораздо больших углах наклона волны, чем эксперименты,

описанные в работе [12], и в них сдвиг резонансного отношения частот был значительно больше. На фиг. VII. 12 изображена зависимость нормированной амплитуды третьей компоненты от длины взаимодействия. Очевидно, что для обеих групп экспериментов амплитуда возрастает линейно, как и предсказывает теория, и наклон кривых, полученных из данных наблюдений, весьма близок к теоретическому.

Вероятно, самое драматичное проявление взаимодействий такого типа для поверхностных волн состоит в неустойчивости волн Стокса, открытой Бенджаменом и Фейром [13]. Эти авторы обнаружили, что если классические волны Стокса подвергаются малому возмущению с близким к основной волне волновым числом, то амплитуда возмущения растет до тех пор, пока волна, вначале почти однородная, не превратится в ряд волновых групп. Этот эффект уже давно наблюдали в волновых ваннах, с ним была связана одна из трудностей при попытке получить установившуюся периодическую волну в длинной ванне. Достижение Бенджамена и Фейра состояло в демонстрации того факта, что это — подлинная гидродинамическая неустойчивости

Фиг. VII. 11. Амплитуда волны, возникшей в результате кубичного взаимодействия волн в ванне на расстоянии 198 см. Светлый кружки представляют измерения Мак-Голдрика и др. [12], темные кружки — измерения Лонге-Хиггинса и Смита [10], штриховые линии соответствуют теоретическим расчетам полосы взаимодействия. Заметим, что сдвиг резонансного отношения частот, наблюдаемый Лонге-Хиггинсом и Смитом, является следствием эффекта амплитудной дисперсии 114]

Фиг. VII. 12. Рост амплитуды комбинационной волны с расстоянием . Сплошная лнння соответствует теоретической скорости роста Темные кружки представляют измерения Лонге-Хиггинса и Смита, Светлые кружки и треугольники представляют две различные серии измерений Мак-Голдрика и др., в которых менялись также амплитуды исходных волн [14].

а не следствие, как думали ранее, несовершенств экспериментальной техники.

Это явление тесно связано с описанной выше неустойчивостью [4] при дополнительном обстоятельстве, что здесь важны эффекты амплитудной дисперсии. Такая неустойчивость может быть описана с помощью приведенных выше уравнений или другим методом (гл. V, разд. 7). Если амплитуды сравнимы между собой, но первоначально малы по сравнению с которая может считаться константой, то последнее из уравнений (15) в первом порядке по амплитудам возмущений приводится к виду

Аналогично записывается уравнение для . Если

то

Если, кроме того, имеет место малое отклонение от резонанса, соответствующего бесконечно малым волнам, которое может компенсировать изменения в дисперсионном соотношении, связанные с первым членом в (19) (амплитудную дисперсию), то справа появляется еще множитель Тогда при условии

фазовые изменения в (20) полностью компенсируются и (20) сводится к (17). Можно записать эти результирующие уравнения через действительные амплитуды волн если отождествить (18а) и (186); в результате получаем

Эти комбинированные эффекты расстройки от резонанса и амплитудной дисперсии являются существенными факторами, обусловливающими неустойчивость, найденную для волн Стокса Бенджаменом и Фейром. Как и в их анализе, связанная пара линейных уравнений для амплитуд возмущений имеет экспоненциально нарастающие решения

где Оба возмущения уносят энергию из основной волны, как показывают и интегралы (16). Волна Стокса неустойчива по отношению к парам возмущений, с волновыми числами, лежащими внутри петли-восьмерки, как показано на фиг. VII. 13. Скорость роста возмущений и ширина полосы неустойчивости пропорциональны квадрату крутизны склона исходной волны.

Фиг. VII. 13. Область волновых векторов, в которой волна Стокса с волновым числом к] неустойчива. Любой треугольник, вершина которого лежит ппутри петли-погьмерки, определяет пару волпоимх пекторов неустойчивых полп Эксперименты Бенджамена и Фейра относятся к одномерному случаю, в котором эта вершина лежит в направлении

Чем круче исходная волна Стокса, тем быстрее развивается неустойчивость и шире диапазон волновых чисел, в котором она наблюдается. В опытах Бенджамена и Фейра волновые векторы возмущений были коллинеарны исходной волне; для этих возмущений существует полоса неустойчивости, лежащая по обе стороны от волнового вектора исходной волны.

Ирония истории! В начале этого века между Рэлеем и Бернсайдом возник яростный спор относительно того, возможны ли в действительности установившиеся решения, представляющие поверхностную волну с конечной амплитудой. Наконец, в 1921 г. Леви-Чивита окончательно доказал существование таких решений (см. [15], стр. 420). И вот теперь оказалось, что они неустойчивы!

ЛИТЕРАТУРА

(см. скан)

<< Предыдущий параграф Следующий параграф >>
Оглавление