Для доступа к данной книге необходима авторизация

Логин: пароль Запрос доступа

Обыкновенные дифференциальные уравнения

  

Хартман Ф. Обыкновенные дифференциальные уравнения. М.: Мир, 1970. — 719 с.

Книга Ф. Хартмана — одного из крупнейших специалистов по теории дифференциальных уравнений — возникла на основе различных курсов, которые автор неоднократно читал студентам и аспирантам разных специальностей. Только первые ее главы включают традиционный материал, в том или ином виде входящий во все учебники. Далее следует изложение качественной теории дифференциальных уравнений, в котором особые интерес представляет круг вопросов, связанных с теоремой о поведении диффеоморфизма в окрестности неподвижной точки. И, наконец, остальная часть книги посвящена более специальным вопросам (асимптотическое интегрирование систем, близких к линейным, уравнения второго порядка, дихотомия и т. д.).

Упражнения (содержащие задачи различной трудности, частично с решениями) играют в этой книге особую роль. Они не только позволяют читателю проверить, как он усвоил материал, но и указывают ему возможные направления дальнейшего развития теории.

Широта охвата материала, систематичность и четкость изложения делают книгу хорошим учебным пособием для студентов высших учебных заведений, однако и специалисты найдут в ней много ценного и интересного.



Оглавление

ПРЕДИСЛОВИЕ РЕДАКТОРА ПЕРЕВОДА
ИЗ ПРЕДИСЛОВИЯ АВТОРА
Глава I. Предварительные сведения
§ 2. Основные теоремы
§ 3. Гладкие аппроксимации
§ 4. Замена переменных в интегралах
Глава II. Теоремы существования
§ 1. Теорема Пикара — Линделёфа
§ 2. Теорема Пеано
§ 3. Теорема о продолжении решения
§ 4. Теорема Кнезера
§ 5. Пример неединственности
Глава III. Дифференциальные неравенства и единственность
§ 1. Неравенство Гронуолла
§ 2. Максимальные и минимальные решения
§ 3. Правые производные
§ 4. Дифференциальные неравенства
§ 5. Теорема Уинтнера
§ 6. Теоремы единственности
§ 7. Теорема единственности ван Кампена
§ 8. Точки выхода и функции Ляпунова
§ 9. Последовательные приближения
Глава IV. Линейные дифференциальные уравнения
§ 2. Вариация постоянных
§ 3. Редукция к системам меньшего, порядка
§ 4. Основные неравенства
§ 5. Системы с постоянными коэффициентами
§ 6. Теория Флоке
§ 7. Сопряженные системы
§ 8. Линейные уравнения высших порядков
§ 9. Замечания о замене переменных
ДОБАВЛЕНИЕ. ЛИНЕЙНЫЕ АНАЛИТИЧЕСКИЕ УРАВНЕНИЯ
§ 10. Фундаментальные матрицы
§ 11. Простые особенности
§ 12. Уравнения высших порядков
§ 13. Кратные особенности
Глава V. Зависимость от начальных условий и параметров
§ 2. Непрерывность
§ 3. Дифференцируемость
§ 4. Существование производных высших порядков
§ 5. Внешние производные
§ 6. Дальнейшие теоремы о дифференцируемости
§ 7. S- и L-липшицевы формы
§ 8. Теорема единственности
§ 9. Лемма
§ 10. Доказательство теоремы 8.1
§ 11. Доказательство теоремы 6.1
§ 12. Первые интегралы
Глава VI. Уравнения в полных дифференциалах Уравнения с частными производными
§ 1. Уравнения в полных дифференциалах
§ 2. Алгебра внешних форм
§ 3. Теорема Фробениуса
§ 4. Доказательство теоремы 3.1
§ 5. Доказательство леммы 3.1
§ 6. Система (1.1)
ЧАСТЬ II. МЕТОД ХАРАКТЕРИСТИК (МЕТОД КОШИ)
§ 7. Нелинейные уравнения в частных производных
§ 8. Характеристики
§ 9. Теорема существования и единственности
§ 10. Лемма Хаара и единственность
Глава VII. Теория Пуанкаре — Бендиксона
§ 2. Теорема об индексе
§ 3. Индекс стационарной точки
§ 4. Теорема Пуанкаре — Бендиксона
§ 5. Устойчивость периодических решений
§ 6. Точки вращения
§ 7. Фокусы, узлы и седловые точки
§ 8. Секторы
§ 9. Стационарная точка общего вида
§ 10. Уравнения второго порядка
ПРИЛОЖЕНИЕ. ТЕОРИЯ ПУАНКАРЕБЕ—НДИКСОНА НА ДВУМЕРНЫХ МНОГООБРАЗИЯХ
§ 12. Аналог теоремы Пуанкаре-Бендиксона
§ 13. Каскады на замкнутой кривой
§ 14. Потоки на торе
Глава VIII. Стационарные точки на плоскости
§ 2. Характеристические направления
§ 3. Системы, близкие к линейным
§ 4. Более общие стационарные точки
Глава IX. Инвариантные многообразия и линеаризация
§ 2. Отображения Т
§ 3. Модификация функции F(s)
§ 4. Приведение системы к нормальному виду
§ 5. Инвариантные многообразия отображения
§ 6. Существование инвариантных многообразий
§ 7. Линеаризации
§ 8. Линеаризация отображения
§ 9. Доказательство теоремы 7.1
§ 10. Периодические решения
§ 11. Предельные циклы
ПРИЛОЖЕНИЕ. ГЛАДКО ЭКВИВАЛЕНТНЫЕ ОТОБРАЖЕНИЯ
§ 12. Гладкие линеаризации
§ 9. Доказательство теоремы 7.12
§ 14. Доказательство теоремы 12.2
Глава X. Возмущенные линейные системы
§ 2. Топологический принцип
§ 3. Теорема Важевского
§ 4. Подготовительные леммы
§ 5. Доказательство леммы 4.1
§ 6. Доказательство леммы 4.2
§ 7. Доказательство леммы 4.3
§ 8. Асимптотическое интегрирование. Логарифмическая шкала
§ 9. Доказательство теоремы 8.2
§ 10. Доказательство теоремы 8.3
§ 11. Логарифмическая шкала (продолжение)
§ 12. Доказательство теоремы 11.2
§ 13. Асимптотическое интегрирование
§ 14. Доказательство теоремы 13.1
§ 15. Доказательство теоремы 13.2
§ 16. Следствия и уточнения
§ 17. Линейные уравнения высших порядков
Глава XI. Линейные уравнения второго порядка
§ 2. Основные факты
§ 3. Теоремы Штурма
§ 4. Краевые задачи Штурма — Лиувилля
§ 5. Число нулей
§ 6. Неосциллирующие уравнения и главные решения
§ 7. Теоремы о неосциллирующих уравнениях
§ 8. Асимптотическое интегрирование. Эллиптические случаи
§ 9. Асимптотическое интегрирование. Неэллиптические случаи
ПРИЛОЖЕНИЕ. СИСТЕМЫ БЕЗ СОПРЯЖЕННЫХ ТОЧЕК
§ 11. Обобщения
Глава XII. Некоторые применения теорем о неявных функциях и неподвижных точках
ЧАСТЬ I. ПЕРИОДИЧЕСКИЕ РЕШЕНИЯ
§ 2. Нелинейные задачи
ЧАСТЬ II. ГРАНИЧНЫЕ ЗАДАЧИ ДЛЯ УРАВНЕНИЙ ВТОРОГО ПОРЯДКА
§ 4. Нелинейные задачи
§ 5. Априорные оценки
ЧАСТЬ III. ОБЩАЯ ТЕОРИЯ
§ 7. Функции Грина
§ 8. Нелинейные уравнения
§ 9. Асимптотическое интегрирование
Глава XIII. Дихотомии для решений линейных уравнений
§ 2. Предварительные леммы
§ 3. Оператор T
§ 4. Оценки для ||Py(t)||
§ 5. Оценки для ||y(t)||
§ 6. Приложения к системам первого порядка
§ 7. Приложения к системам высшего порядка
§ 8. P(B,D)-многообразия
ЧАСТЬ II. СОПРЯЖЕННЫЕ УРАВНЕНИЯ
§ 10. Оператор T'
§ 11. Индивидуальные дихотомии
§ 12. Р-допустимые пространства для T'
§ 13. Приложения к дифференциальным уравнениям
§ 14. Существование PD решений
Глава XIV. Монотонность
ЧАСТЬ I. МОНОТОННЫЕ РЕШЕНИЯ
§ 2. Монотонные решения
§ 3. Линейные уравнения второго порядка
§ 4. Линейные уравнения второго порядка (продолжение)
ЧАСТЬ II. ОДНА ЗАДАЧА ТЕОРИИ ПОГРАНИЧНОГО СЛОЯ
§ 6. Случай «лямбда» больше 0
§ 7. Случай «лямбда» меньше 0
§ 8. Случай «лямбда» равна 0
§ 9. Асимптотическое поведение
ЧАСТЬ III. АСИМПТОТИЧЕСКАЯ УСТОЙЧИВОСТЬ В ЦЕЛОМ
§ 11. Функции Ляпунова
§ 12. Переменная матрица G
§ 13. О следствии 11.2
§ 14. «J(y) x*x меньше либо равно 0, если x*f(y) = 0»
§ 15. Доказательство теоремы 14.2
§ 16. Доказательство теоремы 14.1