Главная > Математика > Обыкновенные дифференциальные уравнения
<< Предыдущий параграф
Следующий параграф >>
<< Предыдущий параграф Следующий параграф >>
Макеты страниц

§ 16. Следствия и уточнения

Если матрица в теореме 13.1 имеет простые элементарные делители (например, если собственные значения матрицы различны) или даже если то и условие (13.12) принимает такой вид:

см. следствие 4.2. В этом случае асимптотические формулы (13.7) сводятся к равенствам

При фиксированном наименьшее допустимое значение в теореме 13.1 равно и условие (13.12) переходит в

условие Выбор большего значения полезен для увеличения числа членов в асимптотической формуле (13.7) и улучшения оценки остаточного члена. Максимальное число членов в асимптотической формуле (13.7) можно получить, если заменить (13.12) более сильным условием

В этом случае справедливо

Следствие 16.1. Пусть такие же, как в теореме 13.1, и пусть функция непрерывна при и всех и удовлетворяет (13.11), где непрерывная функция, удовлетворяющая условию (16.1). Пусть решение линейной системы для которого при . Тогда система (13.1) имеет решение, для которого

В этом следствии не предполагается, что матрица имеет нормальную жорданову форму (см. замечание 1, следующее за теоремой 13.1). Если же она имеет такую форму, то мы можем задать дополнительно некоторое множество начальных условий Для достаточно большого Следовательно, решение удовлетворяет асимптотическим равенствам (13.7), где некоторые постоянные, определенные по определено из (13.16), а Отсюда вытекают асимптотические соотношения, о которых говорится в следствии.

Вывод теоремы 13.1 из леммы 4.3 показывает, что предположения (13.11), (13.12) могут быть несколько ослаблены.

Следствие 16.2. Пусть предположения (13.11), (13.12) теоремы 13.1 заменены более слабыми:

или, более общо,

где определяется из (14.2), положительные непрерывные функции, определенные при такие, что

Тогда остаются справедливыми утверждения теоремы 13.1.

Упражнение 16.1. С помощью замечания 1, следующего за леммой 4.3, и доказательства теоремы 13.1 получите более точные оценки -членовв (13.7) при условиях (16.3) — (16.6) следствия 16.2.

Замечание 2, следующее за теоремой 13.1 и следствием 16.2, имеет важные следствия. Например, предположим, что вектор в (13.1) не зависит от так что система (13.1) может быть записана в виде

где вектор определен при и таков, что

или таков, что выполнено более слабое условие:

или даже таков, что

где неубывающая функция, определенная при причем

Тогда из (14.16) и (16.10) вытекает, что если то

при больших Поэтому выполняется аналог условия (16.2) с

Если под знаком интеграла (16.11) перейти к новой переменной интегрирования и заметить, что при то видно, что (16.6) вытекает из (16.11).

Следствие 16.3. Пусть в (16.7) матрица имеет вид как и в теореме 13.1, а функция непрерывна при и удовлетворяет (16.10), где неубывающая функция переменной для которой имеет место (16.11). Пусть Тогда утверждения теоремы 13.1 остаются в силе после замены (13.3) на (16.7).

Упражнение 16.2. Используя замечание 2, следующее за леммой 4.3, покажите, что условия (16.10), (16.11) в следствии 16.3 можно заменить условием

где функция не убывает при и

(Это утверждение является несколько более общим, чем следствие 16.3, поскольку из (16.12) вытекает (16.10) с Впрочем, из монотонности не вытекает монотонность функции

Аналогично, мы получаем следующее утверждение, вытекающее из доказательств теорем 13.1 и 13.2.

Следствие 16.4. Пусть будут такими как в следствии 16.3, но условие (16.11) заменено условием

не обязательно целое число). Тогда справедливы утверждения теоремы 13.2, если (13.1) заменить на (16.7).

<< Предыдущий параграф Следующий параграф >>
Оглавление