Главная > Математика > Обыкновенные дифференциальные уравнения
<< Предыдущий параграф
Следующий параграф >>
<< Предыдущий параграф Следующий параграф >>
Макеты страниц

Глава III. Дифференциальные неравенства и единственность

«Интегрирование» различных дифференциальных неравенств — наиболее важный технический прием, используемый в теории дифференциальных уравнений. В первой части главы излагаются основные результаты этого типа, которые будут неоднократно использоваться на протяжении всей книги. Во второй части рассматриваются непосредственные приложения изложенных результатов, в том числе и некоторые теоремы единственности.

Повсюду в этой главе являются -мерными векторами, скалярами.

§ 1. Неравенство Гронуолла

Один из наиболее простых и полезных результатов, включающих в себя интегральное неравенство, состоит в следующем.

Теорема 1.1. Пусть неотрицательные функции, непрерывные на некоторая постоянная; кроме того

Тогда

В частности если

По поводу, обобщения теоремы см. следствие 4.4.

Доказательство. Случай 1: Пусть обозначает правую часть неравенства (1.1), так что Значит, Так как то, интегрируя по получаем

Используя неравенство получаем отсюда (1.2).

Случай Если неравенство (1.1) выполняется при то случай 1 влечет за собой справедливость неравенства (1.2) при любом Устремляя С к 0, получаем, что

Упражнение 1.1. Покажите, что из теоремы 1.1 можно получить утверждение теоремы 11.1.1 относительно единственности.

<< Предыдущий параграф Следующий параграф >>
Оглавление