Главная > Математика > Обыкновенные дифференциальные уравнения
<< Предыдущий параграф
Следующий параграф >>
<< Предыдущий параграф Следующий параграф >>
Макеты страниц

§ 8. P(B,D)-многообразия

Условия были нужны главным образом для доказательства леммы 3.2. Аналогичная лемма следует из подобной пары предположений В этом параграфе мы придерживаемся тех же обозначений, что и в §§ 3, 4.

(А5) Если при больших то существует единственное решение уравнения такое, что при больших

Определение. -многообразие. Пусть выполнено условие Пусть банаховы пространства из пространство, определенное в из § 1. Подмногообразие X из называется -многообразием, если существует такая постоянная что для существует PD-решение уравнения такое, что и функция [определенная в соответствии с условием удовлетворяет соотношению [Если выполнено условие то даже без предположения можно показать, что

Упражнение 8.1. Пусть выполнено условие Покажите, что -многообразие существует тогда и только тогда, когда пара является -допустимой.

Лемма 8.1. Пусть выполнены условия Пусть функции обладают такими же свойствами, как в определении -многообразия. Тогда существует постоянная такая, что

Это утверждение вытекает из (3.3) и (3.4) [или (3.3)], а также из (3.50 и (1.5).

(А7) X является -подпространством, т. е. замкнутым -многообразием.

Лемма 8.2. Пусть выполнены условия [или Пусть есть любое PD-решение уравнения для которого Тогда существуют такие постоянные что выполнено условие (3.7) (если допускается значение Доказательство совпадает с доказательством леммы (3.4). Если предположить дополнительно, что кроме условия [или

выполнены условия то лемма 3.4 содержится в лемме 8.2, поскольку в этом случае пространство является -подпространством.

Замечание. В силу лемм 3.3 и 3.4, в теоремах §§ 4—5 (и их применениях в §§ 6—7) можно заменить условия условиями если утверждение типа индуцирует... дихотомию» заменить утверждениями типа «X индуцирует... дихотомию».

Если выполнено условие (например, в случае конечномерного пространства то в силу результата упр. 8.1 из условий следует, что справедливо и после замены В на Д». Однако значение сделанного выше замечания состоит в том, что подпространство X (которое, возможно, меньше, чем может быть заменено на в утверждениях теорем из §§ 4—5.

<< Предыдущий параграф Следующий параграф >>
Оглавление