Главная > Математика > Обыкновенные дифференциальные уравнения
<< Предыдущий параграф
Следующий параграф >>
<< Предыдущий параграф Следующий параграф >>
Макеты страниц

§ 7. Сопряженные системы

Рассмотрим снова систему (1.1). Если матрица А является комплексно сопряженной и транспонированной к то система

называется сопряженной по отношению к системе (1.1). Соответствующая неоднородная система имеет вид

Относительно систем (1.1) и (7.1) можно высказать ряд утверждений. Первым из них является следующая

Лемма 7.1. Для того чтобы невырожденная -матрица была фундаментальной для системы (1.1), необходимо и достаточно, чтобы матрица была фундаментальной для системы (7.1).

Это утверждение следует из того, что если имеет непрерывную производную , то это можно проверить дифференцированием тождества Таким образом, если является для системы (1.1) фундаментальной матрицей, так что то а из этого равенства транспонированием и переходом к комплексно сопряженному получаем равенство Обратный переход доказывается аналогичным образом.

Упражнение 7.1. Покажите, что система (1.1) имеет унитарную фундаментальную матрицу в том и только в том случае, когда система (1.1) является самосопряженной, т. е. когда матрица косоэрмитова: Если в этом случае решение системы (1.1), то евклидова норма постоянна.

Лемма 7.2 (формула Грина). Пусть непрерывны на отрезке решение системы (1.2); решение системы (7.2). Тогда для любого выполняется равенство

где точка обозначает скалярное умножение.

Для доказательства этой формулы достаточно взять производную от обеих частей и учесть, что

<< Предыдущий параграф Следующий параграф >>
Оглавление