Главная > Математика > Обыкновенные дифференциальные уравнения
<< Предыдущий параграф
Следующий параграф >>
<< Предыдущий параграф Следующий параграф >>
Макеты страниц

Глава I. Предварительные сведения

§ 1. Вводные замечания

Рассмотрим систему из дифференциальных уравнений первого порядка с начальными условиями

Здесь суть -мерные векторы; вектор-функция определена на некотором -мерном -множестве В большей части книги будет предполагаться, что непрерывна. В этом случае вектор-функция определенная на -интервале содержащем точку называется решением задачи Коши (1.1), если дифференцируема и для всех Ясно, что производная функция является тогда непрерывной. Эти требования на у эквивалентны следующим условиям: непрерывна и

Задачу Коши, состоящую из системы уравнений порядка и начальных условий

являются -мерными векторами, определен на некотором -мерном множестве можно рассматривать как частный случай задачи (1.1), в которой у есть -мерный вектор, имеющий вид (или, более точно, соответственно

Например, если так что — скаляр, то задачу (1.3) можно

переписать так:

где .

Первая серия вопросов, которую нам нужно рассмотреть, такова: 1) локальные теоремы существования (имеет ли задача (1.1) какое-либо решение определенное для близких к

Рис. 1.

2) глобальные теоремы существования (в каком интервале изменения существует решение задачи теоремы единственности решений.

Важность второго вопроса становится ясной из рассмотрения следующего примера. Пусть являются скалярными функциями, и пусть определена для Может случиться, что система (1.1) с имеет для решение возрастающее от до 1 при увеличении от 0 до 1/2. Тогда, вообще говоря, нельзя ожидать, чтобы решение можно было продолжить до значений

Рассмотрим другой скалярный случай, когда функция определена для всех

Легко видеть, что функция является решением задачи (1.4), однако это решение существует только в интервале — зависящем от начального условия.

Чтобы проиллюстрировать важность третьего вопроса, рассмотрим снова случай скалярного у, и пусть

Эта задача имеет бесчисленное множество решений. Действительно, наряду с решением существует еще однопараметрическое семейство решений, определяемое равенствами для для где (см. рис. 1). Эта ситуация является типичной, так как если задача (1.1) имеет более одного решения, то она имеет «континуум» решений; см. теорему II 4.1.

<< Предыдущий параграф Следующий параграф >>
Оглавление