Главная > Математика > Обыкновенные дифференциальные уравнения
<< Предыдущий параграф
Следующий параграф >>
<< Предыдущий параграф Следующий параграф >>
Макеты страниц

§ 9. Лемма

Доказательство теоремы 8.1 будет опираться на теорему II 1.7.1 и следующую лемму.

Лемма 9.1. Пусть функция принадлеоюит классу и пусть невырожденная матрица класса определенная в открытом множестве и такая, что

где некоторая непрерывная функция. Пусть является решением задачи (7.1) и матрица Якоби Тогда решение линейного «уравнения в вариациях»

при удовлетворяет неравенству

Доказательство. Дифференцирование выражения с учетом (9.2) и (7.10) показывает, что из (9.2) следует равенство

верхний индекс «нуль» указывает, что аргумент равен Значит,

так как Заметим, что Отсюда и из (9.1), (9.5) следует, что так что интегрирование дает (9.3); см. лемму IV.4.2. Заметим, что если

то В этом случае (9.3) и соответствующее неравенство при показывают, что

где а значит, и определены, как выше. В частности, поскольку является по теореме 3.1 решением уравнения (9.2), то из (9.6) и (9.7) вытекает, что

Оценки для получаются из следующего аналога формулы (3.4):

<< Предыдущий параграф Следующий параграф >>
Оглавление