Главная > Математика > Обыкновенные дифференциальные уравнения
<< Предыдущий параграф
Следующий параграф >>
<< Предыдущий параграф Следующий параграф >>
Макеты страниц

§ 4. Доказательство теоремы 3.1

Необходимость. Пусть в некоторой окрестности точки существует функция класса удовлетворяющая соотношениям (1.7), (1.8) и преобразующая форму

в форму

Тогда матрица является невырожденной; см. (1.11). По условию (1.8) функция (1.6) имеет в некоторой

окрестности точки обратную функцию класса Пусть так что матрица непрерывная и невырожденная. Кроме того, форма имеет непрерывную внешнюю производную Тем самым «необходимость» доказана.

Доказательство «достаточности» будет основываться на следующей лемме, которая яснее выявляет роль условий интегрируемости (3.1).

Лемма 4.1. Пусть функция непрерывна в некоторой окрестности точки и пусть там существуют непрерывная невырожденная -матрица и непрерывная -матрица такие, что форма

имеет непрерывную внешнюю производную, удовлетворяющую условиям Пусть есть решение задачи Коши

Тогда матрица

не зависит от

Доказательство леммы 4.1. По теореме V.6.1 задача Коши (4.4) имеет единственное решение класса В обозначениях следствия V.6.1 (ср. (V.6.9) - (V.6.10)) матрица является фундаментальной для линейной системы

является решением уравнения

Отметим некоторые различия с обозначениями ; сейчас у нас играет роль прежнего и в формуле (4.3) совпадает с С из (V.6.2).

При фиксированном замена переменных где переводит (4.3) в форму

Так как коэффициенты в (4.8) имеют непрерывные производные по то из доказательства леммы V.5.1 видно, что

где многоточие заменяет члены, содержащие В силу замечаний, сделанных относительно уравнений (4.6) и (4.7), имеем

где аргументом является

Выберем при фиксированных таким, чтобы т. е.

тогда (4.9) принимает вид (члены, содержащие ), где задается равенством

Так как для определяемого соотношением (4.10), форма равна 0, то из леммы 2.2 и условий интегрируемости (3.1) следует, что В частности, т. е. В этом случае уравнение (4.7) сводится к (4.6). Значит, матрица является фундаментальным решением системы (4.6), а матрица является матрицей-решением той же самой системы (4.6). Следовательно, существует матрица не зависящая от и такая, что

см. § IV. 1. Поскольку матрица (4.5) совпадает с лемма доказана.

Доказательство «достаточности» в теореме 3.1. Допустим, что существует непрерывная невырожденная матрица удовлетворяющая условиям теоремы. Изменим обозначения: пусть если то пусть если то пусть обозначает -мерный вектор Тогда систему (1.1) можно переписать в виде

где первый столбец матрицы матрица, состоящая из других столбцов матрицы Пусть есть решение задачи при фиксированном Замена переменных преобразует форму в форму

Последнюю форму можно переписать следующим образом:

где в силу леммы 4.1 не зависит от см. (4.8) и (4.5). Форма удовлетворяет, конечно, условиям интегрируемости в новых переменных

Если так что то теорема доказана. Если то снова изменим обозначения, положив или в соответствии с тем, будет ли или и перепишем в виде

где состоит из первого столбца матрицы а матрица из остальных. Пусть решение задачи так что не зависит от Замена переменных переводит в форму вида

где, в силу леммы 4.1, матрица не зависит от

Если так что то теорема доказана. Ясно, что этот процесс можно продолжить и тем самым получить доказательства теоремы для любого

<< Предыдущий параграф Следующий параграф >>
Оглавление