Главная > Математика > Обыкновенные дифференциальные уравнения
<< Предыдущий параграф
Следующий параграф >>
<< Предыдущий параграф Следующий параграф >>
Макеты страниц

§ 5. Доказательство леммы 3.1

Так как условия интегрируемости являются локальными, то можно считать, что есть окрестность точки Предположим, что множество не пусто и что для некоторого его элемента выполнены условия интегрируемости. Тогда по теореме 3.1 существует функция удовлетворяющая условиям (1.7) — (1.8) и переводящая форму

в форму

Пусть произвольный элемент из Тогда форма

переходит в форму

Так как замена переменных задается функциями класса то свойство иметь непрерывную внешнюю производную (см. определение в при этом не теряется. Поэтому из соотношения следует, что форма (5.4) имеет непрерывную внешнюю производную. Из доказательства леммы V.5.1 ясно, что имеет вид

где суть непрерывные -мерные векторы.

Поскольку матрица невырожденная, то равенство эквивалентно равенству а тогда Значит, форма (5.4) удовлетворяет условиям интегрируемости. Но тогда форма (5.3), которая получается из (5.4) заменой переменных класса также удовлетворяет условиям интегрируемости.

Лемма доказана.

<< Предыдущий параграф Следующий параграф >>
Оглавление