Главная > Математика > Обыкновенные дифференциальные уравнения
<< Предыдущий параграф
Следующий параграф >>
<< Предыдущий параграф Следующий параграф >>
Макеты страниц

§ 4. Замена переменных в интегралах

Для того чтобы не прерывать некоторых последующих доказательств, удобно доказать сейчас следующую лемму.

Лемма 4.1. Пусть скаляры, непрерывная функция на отрезке непрерывная функция ограниченной вариации на а такая, что для

где слева стоит интеграл Римана — Стильтьеса, а справа — интеграл Римана.

В этой лемме по существу утверждается возможность замены переменных определяемой функцией даже если и не является монотонной (и абсолютно непрерывной).

Доказательство. Если и имеет непрерывную производную, соотношение (4.1) для справедливо, так как в этом случае оба интеграла в (4.1) равны нулю при и имеют одинаковую производную Если и не имеет непрерывной производной, то выберем последовательность непрерывно дифференцируемых на функций удовлетворяющих следующим условиям: равномерно на отрезке таких, что последовательность полных вариаций функций на ограничена. (Существование таких функций следует из предыдущего параграфа). Ясно, что для функций равенство (4.1) справедливо. Применяя тогда теорему о предельном переходе под знаком интеграла, мы получим требуемое равенство

ПРИМЕЧАНИЯ

(см. скан)

<< Предыдущий параграф Следующий параграф >>
Оглавление