Главная > Математика > Обыкновенные дифференциальные уравнения
<< Предыдущий параграф
Следующий параграф >>
<< Предыдущий параграф Следующий параграф >>
Макеты страниц

§ 6. Точки вращения

В § 6—9 мы изучим поведение решений задачи

в окрестности изолированной стационарной точки. Пусть определена для малых скажем в открытом множестве, содержащем точки и пусть

Заметим, что если задача (6.1) имеет единственное решение для всех есть решение задачи (6.1) с определенное на максимальном интервале существования то из теорем 4.1 и 4.2 вытекает, что возможны лишь следующие случаи (взаимно не исключающие друг друга): 1) есть наименьшее такое, что и траектория представляет собой жорданову кривую, содержащую во внутренней области точку и есть спираль, «наматывающаяся» на некоторую замкнутую орбиту; 4) при есть спираль вокруг точки состоит из конечного или бесконечного числа орбит таких, что при

Под спиралью вокруг точки мы понимаем линию такую, что непрерывное продолжение угла стремится к или при

Если любая окрестность точки содержит замкнутые орбиты, окружающие точку то стационарная точка называется точкой вращения.

Если точка является точкой вращения и если решения задач Коши (6.1) единственны, то множество решений уравнения в окрестности точки можно описать следующим образом: существует окрестность точки , такая, что решение задачи (6.1) при любом является или замкнутой орбитой, окружающей точку или спиралью, причем соответствующие множества представляют собой замкнутые орбиты, окружающие точку

Проиллюстрируем сказанное примерами. Рассмотрим дифференциальные уравнения

где суть непрерывные вещественные функции аргумента при малых В полярных координатах эти уравнения принимают следующий вид:

Пример 1. Предположим, что Тогда (6.3) принимает вид

а (6.4) перепишется как так что все орбиты являются окружностями.

Пример 2. Предположим, что и Тогда из Здесь кроме тривиального решения существуют замкнутые орбиты Между орбитами выполняется неравенство так что соответствующие решения будут спиралями, стремящимися к окружностям при в зависимости от четности или нечетности

Пример 3. Пусть описанная выше функция и переопределена так, что она равна 0, скажем между для конечной или бесконечной подпоследовательности натуральных чисел Соответственно спирали между заменяются теперь круговыми орбитами.

Упражнение 6.1. Пусть С — замкнутое множество на отрезке Покажите, что существуют функции , удовлетворяющие условию Липшица на отрезке такие, что для для которых решение системы (6.3) с начальным условием представляет собой замкнутую орбиту, если и спираль, если

Точка вращения в окрестности которой все орбиты, за исключением являются замкнутыми кривыми, называется центром. Простейший пример центра дает линейная система (6.5) из примера 1.

<< Предыдущий параграф Следующий параграф >>
Оглавление