Главная > Математика > Обыкновенные дифференциальные уравнения
<< Предыдущий параграф
Следующий параграф >>
<< Предыдущий параграф Следующий параграф >>
Макеты страниц

Глава VIII. Стационарные точки на плоскости

В этой главе мы продолжим изучение поведения решений автономных систем на плоскости. Основная теорема существования, которая будет доказана в § 1, справедлива для автономных систем произвольной размерности.

§ 1. Теорема существования

В этом параграфе мы рассмотрим автономную систему

для вещественного -мерного вектора Под полутраекторией системы (1.1) мы будем понимать дугу решения в -пространстве: или определенного на правом или левом максимальном интервале существования. В соответствии с этим будет называться полутраекторией типа или Точка будет называться концевой точкой полутраектории

Теорема 1.1. Пусть функция непрерывна в открытом z-множестве . Обозначим через такое открытое подмножество в что часть его границы, лежащая в множество является объединением двух непересекающихся множеств где компакт, точки суть точки выхода, а все множество не компактно. Тогда или или содержит по крайней мере одну полутраекторию системы (1.1) с концевой точкой соответственно в или

Определение точки выхода см. в § III.8. В этой теореме не утверждается, что содержит все множество точек выхода области Так как граница замкнута по отношению к то из условия некомпактности множества следует, что или не ограничено, или имеет предельную точку не принадлежащую

Из доказательства будет ясно, что или существует полутраектория типа в с концевой точкой на или существует полутраектория в с концевой точкой на Достаточные условия для того, чтобы и имела концевую точку на сформулированы в теореме 1.2, которая, однако, не позволяет определить, к какому типу или относится

Теорема 1.2. Пусть выполнены все предположения теоремы 1.1 и, кроме того, решения системы (1.1) однозначно определяются начальными условиями, не пусто, связно. Тогда существует полутраектория с концевой точкой на

Условие связно» может быть ослаблено до условия связно, где или не ограничено, или имеет предельную точку, не входящую в (т. е. в

Замечание. Условие теоремы 1.2 о единственности решений задачи Коши для системы (1.1) можно отбросить, если известно, что на существуют гладкие функции аппроксимирующие равномерно на каждом компактном подмножестве из и такие, что к системам применима теорема 1.2. Это утверждение будет проиллюстрировано в следствии 1.1.

Доказательство теоремы 1.1. Для краткости мы будем писать хотя, быть может, решения и не определяются однозначно выбором начальной точки так что зависят от и от рассматриваемого решения. Пусть произвольное решение системы (1.1), определенное точкой и пусть его максимальный интервал существования есть Если то для малых — Если существует точка для которой в имеется полутраектория определенная на своем левом максимальном интервале существования то утверждение теоремы 1.1 справедливо.

Поэтому предположим, что для каждой точки и решения существует точка такая, что для но Тогда и потому, в частности, не пусто.

Так как компакт, а множество не компактно, то на существует последовательность точек таких, что если то существует предел при и либо либо существует ; см. рис. 1.

Положим так что для Так как при то из теоремы следует, что если последовательность выбрана подходящим образом, то можно считать, что существует решение системы (1.1), удовлетворяющее условию имеющее максимальный интервал существования и такое, что предельный переход

равномерен на любом -отрезке из В частности, для больших

Предположим противное: для Тогда Для и потому существует точка такая, что Пусть Тогда для больших решение определено на отрезке и на нем справедливо соотношение (1.2). Но о для больших Следовательно, для больших

Рис. 1.

В этом случае согласно (1.2). Так как и либо либо при мы получаем, что или или при Но это невозможно, так как Теорема 1.1 доказана.

Доказательство теоремы 1.2. Принимая во внимание доказательство теоремы 1.1, достаточно рассмотреть тот случай, когда существует точка такая, что (единственное) решение находится в а потому в для Пусть (непустое) подмножество таких точек из Ясно, что замкнуто относительно так как состоит из точек выхода; см. теорему II.3.2.

Если существует точка являющаяся предельной для то находится в Предположим поэтому, что не имеет на предельной точки. Тогда замкнуто относительно

Следовательно, множество имеет предельную точку в противном случае разлагается на два непустых взаимно непересекающихся множества которые замкнуты относительно множества Но множество по условию связно.

Значит, можно повторить построение доказательства теоремы 1.1, с той лишь разницей, что Если Для то доказательство закончено; см. рис. 2.

Рис. 2. для .

Если это не так, то нужно проследить за рассуждениями в конце доказательства предыдущей теоремы, чтобы снова прийти к тому выводу, что — при

Значит, существует точка ), являющаяся (конечной) предельной точкой последовательности Тогда Ясно, что так как и не пересекаются).

Рис. 3. для .

Поскольку и решение однозначно определено точкой отсюда следует, что для см. рис. 3. (Это как раз то место, где использовано условие единственности решения задачи Коши для системы

В частности, полутраектория находится в Так как концевая точка этой траектории есть то теорема доказана, Для

Следствие 1.1. Пусть функция непрерывна в открытом множестве содержащем замыкание шарового сектора

где положительные числа и и пусть

Пусть обозначают соответственно боковые и сферические части границы сектора т. е.

Предположим, что каждая точка на является точкой выхода для Тогда система (1.1) имеет по крайней мере одну полутраекторию концевой точкой в (определенную на полупрямой или ; см. рис. 4.

Рис. 4. а) Г типа ; б) Г типа

Доказательство. Предположим сначала, что решения системы однозначно определены начальными условиями. Тогда можно применить теорему 1.2 при условии, что открытое множество из этого следствия заменено открытым множеством, полученным удалением из точки и потому Значит, в существует полутраектория, например Если то при см. лемму 11.3.1. Но в этом случае решение можно продолжить на положив для (На самом деле такой

ситуации не может возникнуть, если решения системы (1.1) определяются однозначно начальными условиями, так как из равенства для некоторого следует, что Но в общем случае, который мы сейчас рассмотрим, это может случиться.)

Осталось показать, что следствие 1.1 справедливо и в том случае, когда не предполагается единственность решения задачи Коши. Так как точка является точкой выхода, то производная функции и вдоль траектории в точке неотрицательна, т. е.

для см. Таким образом, если то

что больше некоторой положительной постоянной когда для больших

Пусть последовательность гладких функций, такая, что равномерно на некотором открытом множестве Пусть целое так велико, что Тогда, заменяя, если это необходимо, на мы можем считать, что существует такое что при выполнении условия (1.9)

причем при

Обозначим через открытое множество, полученное из удалением шара Пусть

и пусть суть соответственно боковая и сферическая границы множества в Согласно (1.10), точка является для точкой выхода по отношению к дифференциальному уравнению

Значит, по теореме 1.2, уравнение (1.11) имеет в полутраекторию с концевой точкой на Пусть для определенности где

Здесь является правым максимальным интервалом существования при условии, что уравнение (1.11) рассматривается только в Пусть правым максимальным интервалом существования решения является если (1.11)

рассматривается в Значит, и из неравенства следует, что

Выбирая, если это необходимо, подпоследовательность, можно считать, что при предел существует. В силу теоремы II.3.2 можно также считать, что система (1.1) имеет решение удовлетворяющее условию и такое, что равномерно на каждом отрезке из правого максимального интервала существования решения в

Предположим, что полутраектория не полностью находится в Тогда для некоторого Если то для больших имеем . Следовательно,

когда Значит, если предельная точка последовательности то Но тогда можно следующим образом изменить определение если есть наименьшее значение где то положим для всех Теперь определена на при равномерно на Повторяя только что приведенные рассуждения, получаем, что Утверждение доказано.

Следствие 1.2. Пусть выполняются все предположения следствия 1.1 и, кроме того,

Тогда полутраектория следствия 1.1 определена для или причем

Доказательство. Если это утверждение неверно, то остается для всех или на положительном расстоянии от точки см. лемму 11.3.1. Но в силу (1.12) это невозможно согласно результатам общей теории плоских автономных систем; см. теорему VI 1.4.4.

Следствие 1.3. Пусть выполнены предположения следствия Если, кроме того, для то любая полу траектория с концевой точкой на определена для всех если для любое решение системы (1.1), причем лежит внутри (т. е. может быть определено для всех так что при —

Упражнение 1.1. Докажите следствие 1.3.

В следующем утверждении рассматривается другая ситуация.

Следствие 1.4. Пусть так что в (1.5) является объединением двух непересекающихся открытых прямолинейных отрезков Пусть выполнены предположения следствия 1.2, но условие, что каждая точка из является для точкой выхода, заменено следующим: каждая точка является для точкой выхода, а каждая точка является для точкой входа. Тогда о или не существует ни одной, а есть меньшей мере две полутраектории с концевой точкой на

Рис. 5.

Доказательство. Предположим, что в есть полутраектория с концевой точкой Допустим, что принадлежит типу (в противном случае заменим на и поменяем ролями Тогда

Предположим, что Тогда каждая точка отрезка является концевой точкой некоторой полутраектории типа расположенной в см. рис. 5, а.

Предположим, что внутренняя точка и ни одна точка не является концевой точкой полутраектории в Тогда дуга решения системы (1.1), проходящая через не встречается с при увеличении но обязательно пересекается с см. рис. 5, б. Рассуждения, использовавшиеся при доказательстве теоремы 1.1, показывают, что тогда в найдется полутраектория типа с концевой точкой Тем самым следствие 1.4 доказано.

Упражнение 1.2. Пусть выполнены условия следствия 1.4 и, кроме того, для Покажите, что тогда в или нет ни одной, или есть бесчисленное множество полутраекторий с концевыми точками на

Для произвольной размерности следствие 1.3 имеет следующий аналог:

Следствие 1.5. Пусть 2, выполнены предположения следствия того, для Тогда любая полутраектория с концевой точкой на определена на полуоси или и стремится к при или в соответствии с тем, будет ли

Это утверждение очевидно, так как убывает или возрастает; вместе с в соответствии с тем, будет ли или

<< Предыдущий параграф Следующий параграф >>
Оглавление