Главная > Математика > Обыкновенные дифференциальные уравнения
<< Предыдущий параграф
Следующий параграф >>
<< Предыдущий параграф Следующий параграф >>
Макеты страниц

§ 3. Модификация функции F(s)

Для того чтобы обойти некоторые технические трудности (связанные, например, с тем, что область определения отображения зависит от было бы удобно заменить в уравнении (2.1) функцией, определенной для всех совпадающей с при малых скажем при и равной нулю при Если эту новую функцию снова обозначить через то решение системы (2.1) будет определено для любого Таким образом, при любом область определения отображения совпадает со всем -пространством, и множество отображений действительно является группой.

Лемма 3.1. Пусть при малых является вектор-функцией класса причем Пусть произвольное число. Тогда существуют такое число (которое стремится к нулю вместе с и такая функция класса определенная для всех что при при при всех

В этой лемме размерности векторов не обязательно совпадают. Под нормой прямоугольной матрицы А мы будем понимать в этой главе норму А как линейного оператора из одного евклидова пространства в другое, т. е. наименьшую постоянную с, для которой для всех у.

Доказательство. Пусть настолько мало, что а потому при Пусть гладкая вещественная функция переменной определенная при и такая, что при при при для Положим при при Тогда при Если то и потому

Лемма доказана.

Таким образом, если нас интересует поведение решений системы (2.1) только в малой окрестности точки то в соответствии с леммой 3.1 мы можем, не теряя общности, предполагать, что и

при всех причем

Проверим теперь, что существуют такие что при и если решение системы (2.1) представлено в виде (2.8), то

Чтобы убедиться в этом, отметим, что из (3.1) следует неравенство и потому решение системы (2.1) удовлетворяет оценке при Значит, для решения системы (2.1) выполнено неравенство см. для сравнения лемму IV.4.1. Таким образом, если где то при В этом случае система (2.1) приводится к виду при и решение равно т. е. в (2.8) функция равна при

Из соотношения следует, что или

Матрица имеет производную а в силу (2.5)

Поскольку норма не превосходит при где то из леммы IV.4.1 следует, что норма не превосходит при Следовательно, и потому при Окончательно имеем

т. е. (3.4) выполняется, если положить

<< Предыдущий параграф Следующий параграф >>
Оглавление