Главная > Математика > Обыкновенные дифференциальные уравнения
<< Предыдущий параграф
Следующий параграф >>
<< Предыдущий параграф Следующий параграф >>
Макеты страниц

§ 9. Доказательство теоремы 8.2

Можно предполагать, что справедливы соотношения (4.4), (4.5) и (4.8); см. замечание 1 после теоремы 8.1. Используя функцию определенную в (4.18), положим

Легко проверить (см. § 5), что если справедливо (4.8), достаточно велико и то

Единственность. Предположим, что система (8.1) имеет два решения где удовлетворяющих условиям о И (8.7), но Положим Тогда из (8.8) вытекает (4.8) и потому, в силу (9.2), если Так как имеем и следовательно, и не может обращаться в нуль при Поэтому

Поскольку при (см. упр. 4.1), из (4.8) следует, что

Но это противоречит неравенству поскольку (8.7) выполняется как для так и для

Непрерывность функции Пусть — соответствующее решение системы (8.1). Введем в систему (8.1) новые переменные, положив

так что (8.1) переходит в систему

и ввиду (8.8)

Из уже доказанной нами части теоремы 8.2 следует, что если величина достаточно мала, то система (9.6) имеет единственное решение такое, что либо либо при и

при если (Неравенство (9.8) аналогично неравенству (4.16) в лемме 4.1.) Отсюда вытекает, что функция является решением системы (8.1) и что Поэтому, подставляя в (9.8) значение получаем

Обозначим через единственное решение системы (8.1), существование которого гарантируется теоремой 8.1 и первой частью теоремы 8.2. Тогда

Из того, что это решение единственно, вытекает равенство

при Для того чтобы доказать непрерывность функции по рассмотрим разность при и малых В силу (9.11) эта разность может быть представлена в виде Неравенство, аналогичное (9.8), дает нам при

Поскольку вектор лежит при и малых в компактном -множестве, из (8.1) вытекает, что если число является верхней гранью для на этом множестве. Отсюда так что

Таким образом, при

Неравенства (9.9) и (9.12) завершают доказательство теоремы 8.2.

<< Предыдущий параграф Следующий параграф >>
Оглавление