Главная > Физика > Курс физики. Том I. Механика, акустика, молекулярная физика, термодинамика
<< Предыдущий параграф
Следующий параграф >>
<< Предыдущий параграф Следующий параграф >>
Макеты страниц

§ 37. Основное уравнение динамики вращательного движения

Пусть к некоторому телу, которое может вращаться около неподвижной оси О и имеет момент инерции приложена сила с плечом (рис. 62). Определим угловое ускорение приобретаемое телом под действием указанной силы.

Допустим, что за время тело поворачивается с угловой скоростью ( на угол причем точка приложения силы описывает дугу Работа, совершаемая силой за время будет равна или, иначе, Эта работа идет на увеличение кинетической энергии вращения тела, т. е.

Но при неизменности момента инерции тела

Стало быть (произведя сокращение на и введя момент силы получаем:

Мы видим, что это основное уравнение динамики вращательного движения по своему начертанию аналогично основному уравнению динамики поступательного движения

Однако, как и следовало ожидать, в уравнении (13) вместо силы фигурирует момент силы, вместо массы — момент инерции и вместо линейного ускорения — угловое ускорение.

Рис. 62

Приняв во внимание возможность изменения момента инерции тела во время вращения, мы вместо уравнения (13) получили бы уравнение

аналогичное уравнению

В уравнение (14) входит величина Выясним ее физический смысл. При вращательном движении тела каждая его частица с массой описывает окружность некоторого радиуса имея при этом некоторую скорость (рис. 63). Произведение есть количество движения данной частицы. Произведение количества движения частицы на кратчайшее расстояние частицы от какой-либо оси, т. е. величина есть момент количества движения относительно оси. Момент количества движения относительно оси рассматривают как вектор, направленный по оси в ту сторону, куда нужно смотреть, чтобы видеть вращение происходящим по часовой стрелке.

Рис. 63.

Взяв сумму моментов количества движения всех частиц, составляющих вращающееся тело, получим момент количества движения

всего данного тела:

или, вынося за знак суммы общий для всех точек множитель со и замечая, что есть момент инерции находим:

Таким образом, момент количества движения тела относительно оси вращения равен произведению момента инерции на угловую скорость.

Заметим, что момент количества движения вращающегося тела часто называют импульсом вращения.

Свободные оси. Основное уравнение динамики вращательного движения справедливо для вращения относительно любой возможной оси. Следует, однако, отметить, что в отношении характера и интенсивности взаимодействия вращающегося тела с опорами оси вращения не все оси равноценны.

Рис. 64 Врашение тела вокруг произвольной (а) и свободной (б) осей.

Рис. 65 Свободные оси палочки (а) и диска (б)

Возможны два случая: ось вращения такова, что центробежные силы инерции, развиваемые отдельными материальными точками тела, не уравновешиваются относительно этой оси (рис. 64, а); тогда тело при вращении оказывает Соковое давление на подшипники. Но может случиться, что все центробежные силы инерции уравновешиваются относительно оси вращения (рис. 64, б); такую ось называют свободной осью.

Если тело имеет ось полной симметрии, то, очевидно, эта ось симметрии и будет свободной осью.

Можно доказать, что во всяком теле существуют три взаимно перпендикулярные свободные оси.

В отношении устойчивости вращения небезразлично, какая именно из свободных осей служит осью вращения Опыт и теория показывают, что вращение около осей с наибольшим и наименьшим

моментом инерции отзывается устойчивым, а вращение около оси со средним моментом, инерции — неустойчивым. Так, если палочку подвесить за конец на нити и другой конец нити привести в быстрое вращение при помощи центробежной машины (рис. 65, а), то палочка будет вращаться в горизонтальной плоскости около вертикальной оси, перпендикулярной к длине палочки и проходящей через ее середину. Это и есть свободная ось вращения, причем момент инерции палочки при таком положении оси — максимальный.

Точно так же будет вращаться в горизонтальной плоскости тяжелое кольцо или диск (рис. 65, б).

Понятие о свободной оси вращения имеет большое значение для техники. Именно, надо заставлять вращающиеся части машины вращаться около их свободных осей, или, как говорят, надо хорошо их центрировать, иначе давление на ось, особенно при больших скоростях, может иметь вредные последствия вплоть до поломки машины.

<< Предыдущий параграф Следующий параграф >>
Оглавление