Главная > Математика > О предельных циклах
<< Предыдущий параграф
Следующий параграф >>
<< Предыдущий параграф Следующий параграф >>
Макеты страниц

§ 9. Лемма 2

Рассмотрим дифференциальное уравнение

где целое положительное или нуль, функции непрерывны при . Это уравнение имеет единственное непрерывное на интервале решение такое, что Исследуем его. Покажем, что справедливы следующие свойства;

1) решение положительно на интервале если функция положительна на этом интервале.

Действительно, положим

тогда

2) если при фиксированной функции увеличить заменив ее на удовлетворяющую неравенству то решение нового уравнения обращается в нуль при удовлетворяет неравенству в интервале Действительно, удовлетворяет уравнению

Вычитая почленно (12) из (13), получим

или

обращается в нуль при поэтому в силу 1)

при

3) если увеличивать функцию оставив неизменной то решение увеличится. Это непосредственно следует из выражения для решения

4) если есть решение уравнения (12) такое, что то для всех должно быть выполнено неравенство Это непосредственно следует из выражения для решения

5) в силу сказанного выше приходим к заключению, что если в интервале увеличить функции увеличив при этом начальное значение положив его равным то в интервале увеличивается и решение

<< Предыдущий параграф Следующий параграф >>
Оглавление