Главная > Математика > О предельных циклах
<< Предыдущий параграф
Следующий параграф >>
<< Предыдущий параграф Следующий параграф >>
Макеты страниц

§ 6. Форма дифференциального уравнения в окрестности особой точки

Исследуем форму дифференциального уравнения в окрестности особой точки. Предположим, что особая точка лежит в начале координат и рассмотрим дифференциальное уравнение (1) в окрестности

1. Если простая точка пересечения кривых

т. е. если эти кривые не касаются между собой в начале координат, то точку будем называть простой обыкновенной особой точкой. Оставив в стороне случай центра или фокуса, при надлежащем выборе осей координат уравнение (1) можно записать в виде

где полиномы или ряды, не имеющие линейных членов, X и а — постоянные, причем . В зависимости от знака X особая точка — седло или узел.

2. Если — кратная точка одной из кривых (6) или если эти кривые касаются в то особую точку назовем кратной.

Среди кратных особых точек будет рассмотрен один частный случай, когда заменой переменных уравнение (1) преобразуется к виду

где полиномы или ряды по х и у, начинающиеся с членов не ниже второй степени.

Особую точку в этом случае будем называть исключительной.

Можно построить ряды содержащие лишь члены не ниже второй степени, такие, что заменой переменных

уравнения (7) и (8) приводятся к виду

который называется канонической формой. Если то из (9) получаем случай простой особой точки типа седла или узла. Если то получим исключительную особую точку, которая будет седлом, узлом или точкой смешанного типа в зависимости от знака К и четности числа

Особую точку назовем элементарной, если заменой переменных уравнение в окрестности этой точки можно привести к виду (7) или (8). Неэлементарную особую точку будем называть сложной. Это различие между элементарными и сложными точками используется при установлении различия между простыми и кратными точками.

<< Предыдущий параграф Следующий параграф >>
Оглавление