Главная > Разное > Статистический анализ угловых наблюдений
<< Предыдущий параграф
Следующий параграф >>
<< Предыдущий параграф Следующий параграф >>
Макеты страниц

§ 2.4. Вычисление выборочных характеристик расположения и рассеяния по группированным данным

Проиллюстрируем четырьмя типичными примерами вычисление выборочных характеристик расположения и рассеяния по группированным данным. Первые три примера касаются одновершинных распределений в случаях, когда область возможных значений сл. углов есть [0°, 360°), область возможных значений есть [0°, 180°) и когда данные являются периодическими во времени. Четвертый пример относится к двувершинному распределению с модами, отстоящими друг от друга на 180°.

Поскольку значения выборочных характеристик, вычисленные по группированным данным, вообще говоря, отличны от соответствующих значений, вычисленных по негруппированным данным, то условимся пользоваться символами подчеркивая этим, что соответствующие характеристики вычислены по группированным результатам наблюдений. Вопрос о точности приближенных равенств будет обсуждаться в § 2.8 и в п. 3.8.2,.

По аналогии с формулами (2.2.3) и (2.2.4) положим к к

где средняя точка интервала группировки (предполагается, что все интервалы имеют одинаковые длины целое число), частота, соответствующая интервалу. Для вычисления полезно иметь в виду, что

где

Разумеется, формула, аналогичная (2.4.2), верна и при отсутствии группировки.

Пример 2.1. Вычислим по данным табл. 1.1. Используя вспомогательную табл. 2.2, по формулам (2.4.1) находим, что в данном случае

Следовательно, согласно (2.4.2), (в градусах ).

Пример 2.2. Вычислим по данным табл. 1.2. Поскольку область возможных значений сл. углов в данном случае есть полуинтервал [0°, 180°), то сперва удвоим наблюденные значения углов. Тогда будет представлять собой среднюю точку преобразованного класс-интервала. Теперь мы можем осуществить такие же вычисления, как и в предыдущем примере, и найти Интуитивно представляется, что подходящей оценкой для выборочного кругового среднего направления должна служить величина Теоретические вопросы для распределений, заданных на будут затронуты в § 3.5, Там же будет показано, что в случае распределений,

Таблица 2.2 (см. скан) Вычисления по данным табл. 1.1

близких к намотанному нормальному, подходящей оценкой для выборочной круговой дисперсии направлений может служить величина (формула (3.5.13)).

В данном примере поэтому действуя далее, как если бы распределение было близко к намотанному нормальному, получим поскольку (см. последнее замечание п. 2.3.2).

Пример 2.3. Вычислим по данным табл. 1.4. Используем класс-интервалы, указанные во втором столбце табл. 1.4, и откорректированные частоты — в четвертом столбце. Аналогично тому, как это делалось в примере 2.2, находим, что в данном случае Так как то значению соответствует 201-й день года, т. е. 20 июля.

Пример 2.4. Вычислим по данным табл. 1.8. Можно предположить, что в данном примере распределение представляет собой смесь двух распределений с одинаковыми

дисперсиями и модами, отстоящими друг от друга на 180°. Подробнее о смесях будет рассказано в § 3.6.

Прямое вычисление выборочных кругового среднего направления и круговой дисперсии приводит к значениям . С другой стороны, используя информацию о том, что моды отстоят на 180°, можно перевести все наблюдения на полуинтервал [0°, 180°), заменяя углы 0, превосходящие 180°, углами и затем производя вычисления, как в примере 2.3.

Таблица 2.3 (см. скан) Вычисление по данным табл. 1.8

Результаты вспомогательных вычислений приведены в табл. 2.3. Четвертый столбец содержит суммы частот в класс-интервалах, отстоящих на 180°. Так же, как в примере 2.3, находим, что поэтому где вычислено, как если бы распределение было близко к намотанному нормальному.

Такая процедура легко переносится на другие подобные случаи, например, на случай дввершинного распределения в полуинтервале [0°, 180°), возникшей при изучении направления перемещения дафний (табл. 1.11). При этом следует объединить частоты, соответствующие класс-интервалам, отстоящим на 90°, провести вычисления с углами и затем получить оценки выборочных круговых среднего направления и дисперсии направлений по формулам

<< Предыдущий параграф Следующий параграф >>
Оглавление