§ 2.5. Некоторые другие характеристики расположения

2.5.1. Выборочная медиана. Пусть задана выборка на окружности единичного радиуса. Каждая точка на окружности, обладающая тем свойством, что 1) половина точек выборки лежит

по одну сторону диаметра и 2) большинство точек выборки ближе к чем к называется выборочным круговым медианным направлением, или короче, выборочной круговой медианой. Вообще говоря, выборочная круговая медиана не единственна.

Выборочная круговая медиана в дальнейшем будет обозначаться Проиллюстрируем вычисления на следующих примерах.

Пример 2.5. Вычислить выборочную круговую медиану для данных примера 1.1. Наблюденные значения суть 43, 45, 52, 61, 75, 88, 88, 279, 357. Из рис. 1.1 видно, что в то время как медиана этих же точек на прямой есть 75°.

Пример 2.6. Вычислить выборочную круговую медиану для группированных данных табл. 1.1. Результаты вспомогательных подсчетов для нахождения приведены в табл. 2.4.

Таблица 2.4 (см. скан) Вычисления медианного направления полета крякв по данным табл. 1.1

В третьем столбце приведены накопленные частоты, причем первая половина этого столбца повторена в четвертом столбце, который, таким образом, содержит накопленные частоты углов, меньших где верхняя граница класс-интервала. Частоты углов, содержащихся в интервале получаются в результате вычитания четвертого столбца из третьего. Половина всех наблюденных значений углов (т. е. 357

значений) лежит между частотами, соответствующими интервалам (120°, 300°) и (140°, 320°). Поскольку частоты на «нижней» полуокружности больше, чем на «верхней», то выборочная круговая медиана лежит в интервале (300°, 320°), а не (120°, 140°). Так как, кроме того, в интервале (120°, 300°) расположено 264 наблюдения, а в интервале (140°, 320°) их 399, то, разбивая ширину интервала, содержащего выборочную круговую медиану, в соответствующей пропорции, получаем, что

В примере 2.2 было найдено, что для этих данных т. е. оба направления практически совпадают.

2.5.2. Выборочная мода. Мода выборки на окружности может быть получена по аналогии со случаем распределения на прямой. Иными словами, выборочной модой является та точка окружности, в окрестности которой наблюдается наибольшая концентрация выборочных значений. Более точно, в случае группированных наблюдений

где нижний предел модального класс-интервала, т. е. класс-интервала с наибольшей частотой частоты соответственно предшествующего и следующего за модельным класс-интервалов, причем ширина модального класс-интервала.

Пример 2.7. Вычислим выборочную моду по наблюденным значениям углов исчезновения, приведенным в табл. 1.1. С помощью табл. 2.4 устанавливаем, что в данном случае поэтому согласно

Так как выборочная мода определяется только по группированным данным, то нет необходимости в значке