Главная > Разное > Статистический анализ угловых наблюдений
<< Предыдущий параграф
Следующий параграф >>
<< Предыдущий параграф Следующий параграф >>
Макеты страниц

ГЛАВА 3. ОСНОВНЫЕ ПОНЯТИЯ И ВЕРОЯТНОСТНЫЕ МОДЕЛИ

§ 3.1. Функция распределения

Вектор принимающий значения на окружности единичного радиуса, называется направлением на плоскости, в которой расположена данная окружность. Условимся трактовать эту плоскость как комплексную. В таком случае вектору будет соответствовать комплексное число и эта формула устанавливает однозначное соответствие между действительными числами О (углами) и всеми возможными направлениями, изображаемыми комплексными числами модуль которых равен единице. Если то такое соответствие будет взаимно однозначным. По этим причинам в дальнейшем под термином «направление» мы будем понимать либо вектор либо соответствующее этому вектору комплексное число либо, наконец, любой из углов для которого (все такие углы сравнимы по модулю

Угол соответствующий направлению называется случайным углом углом), если дробная часть

представляет собой случайную величину Пусть функция распределения случайной величины О. Для определенности будем считать функцию непрерывной справа, поэтому, в частности, причем в точке функция непрерывна.

3.1.1. Распределение вероятностей случайного угла. Назовем функцией распределения сл. угла О, принимающего любые действительные значения, функцию

где дробная часть , С — произвольная постоянная. Эта функция является монотонно неубывающей, непрерывной справа, причем

Любая функция монотонно неубывающая на действительной прямой, непрерывная справа и удовлетворяющая тождеству (3.1.2), представима в виде (3.1.1), а поэтому ее можно рассматривать как ф. р. некоторого сл. угла. Действительно, в силу (3.1.2)

и значит, имеет место представление (3.1.1) при

где

Из формулы (3.1.1) следует, что представляет собой сумму линейной функции и периодической функции

имеющей период

В дальнейшем, если не оговорено противное, мы всегда будем предполагать, что Однако в некоторых случаях удобно выбирать постоянную С таким образом, чтобы выполнялось равенство фиксированное действительное число). Пусть две ф. р. из семейства (3.1.1), для которых значения постоянной С определены из условий соответственно. В таком случае

Например, если то

Условимся дробную часть дуги (угла) на окружности радиуса обозначать символом т. е.

причем, разумеется, Если дуги (углы) на окружности радиуса сравнимы по модулю если они имеют одинаковые дробные части

то это свойство дуг мы будем обозначать символическим тождеством

Распределение вероятностей сл. угла О определяется в терминах распределения вероятностей . А именно, для любых действительных таких, что вероятность события «в полуинтервале ] найдется число 0, сравнимое с О по модулю при равна если же то эта вероятность представляет собой сумму вероятностей где

В дальнейшем упомянутое событие будет обозначаться символом При таком соглашении в силу формулы (3.1.1) указанное определение можно сформулировать в виде следующего простого равенства:

причем

Если абсолютно непрерывна, то она имеет плотность распределения вероятностей (п. р. в.) , т. е. при всех действительных справедлива формула

Произвольная функция является плотностью некоторого распределения вероятностей на окружности тогда и только тогда, когда почти при всех действительных справедливо неравенство и выполняется тождество причем интервал от по отрезку существует и равен единице.

Если угла О абсолютно непрерывна, то сл. угол называется непрерывно распределенным на окружности единичного радиуса, а соответствующее распределение вероятностей — непрерывным. Функция непрерывного распределения почти при всех действительных значениях дифференцируема, и ее производная почти всюду совпадает с п. р. в. . В силу определения (3.1.1) это означает, что в полуинтервале почти всюду совпадает с

для остальных действительных значений она определяется как периодическая функция с периодом

В дальнейшем при записи аналитического выражения для заданной на окружности единичного радиуса, всегда будет подразумеваться, что (как уже говорилось, для остальных значений 0 п. р. в. определяется тождеством . И лишь в тех случаях, когда радиус окружности отличен от единицы, мы будем сопровождать аналитическое выражение п. р. в. явным указанием полуинтервала соответствующего одному периоду.

3.1.2. Совместное распределение вероятностей нескольких случайных углов. Понятие распределения вероятностей сл. угла можно распространить на -мерный случай. Пусть вектор, компоненты которого — сл. углы, и пусть

Согласно определению сл. углов в представляет собой сл. вектор, распределение вероятностей которого сосредоточено на множестве

вектора непрерывна в точке причем (символом 1 здесь обозначен вектор, все компонент которого равны единице).

Пусть произвольный вектор с действительными компонентами, и пусть в — вектор, составленный из дробных частей компонент вектора в. По аналогии с определением (3.1.1) совместное распределение сл. углов определим с помощью функции распределения

где — произвольная постоянная, и

Легко можно убедиться, что

Назовем функцией маргинального распределения сл. угла выражение

где произвольная постоянная. В силу (3.1.3) это определение означает, что

т. е. в согласии с (3.1.1) маргинальное распределение сл. угла определяется маргинальным распределением

дробной части сл. угла

Сл. углы называются независимыми, если независимы компоненты сл. вектора т. е. если имеет место тождество

которое в силу (3.1.3) и (3.1.4) означает, что

Предположим теперь, что удовлетворяет тождеству (3.1.5), где функция распределения некоторого сл. угла Поскольку согласно формуле то в данном случае

где в силу заданная в полуинтервале Следовательно, компоненты сл. вектора независимы.

Тем самым установлено, что сл. углы независимы тогда и только тогда, когда имеет место тождество

Если функция совместного распределения сл. углов абсолютно непрерывна, то она имеет т. е. для любого измеримого множества -мерном пространстве

Произвольная функция является плотностью совместного распределения вероятностей некоторых сл. углов тогда и только тогда, когда почти при всех значениях вектора справедливо неравенство и по каждой из компонент вектора

функдия периодична с периодом причем интеграл от по множеству существует и равен единице.

В случае существования плотности совместное распределение сл. углов называется непрерывным, причем согласно формуле (3.1.3) почти для всех из множества

а в остальных точках -мерного пространства плотность определяется как периодическая функция с периодом по каждой из переменных.

Отсюда и из тождества (3.1.6) следует, что если сл. углы подчиняются совместному непрерывному распределению, то эти сл. углы независимы тогда и только тогда, когда соответствующая - плотность совместного распределения представима в виде произведения плотностей почти при всех значениях 0:

При этом сомножители в правой части (3.1.7) представляют собой п. р. в. сл. углов или, что то же самое, плотности маргинальных распределений.

В дальнейшем часто будет использоваться следующий важный факт. Пусть -измеримая периодическая функция с периодом по каждой из переменных и пусть вектор, компоненты которого — сл. углы, подчиняющиеся совместному распределению, заданному ф. p. . Так как представляет собой сл. в., то можно определить среднее значение функции (если оно существует) формулой

где произвольный вектор с целочисленными компонентами, и

Из определения (3.1.8) следует, что 1) если С — постоянная, то если сумма периодических функций с периодом по каждой из переменных и количество слагаемых не более чем счетно, причем средние Значеция слагаемых существуют,

<< Предыдущий параграф Следующий параграф >>
Оглавление