Главная > Разное > Статистический анализ угловых наблюдений
<< Предыдущий параграф
Следующий параграф >>
<< Предыдущий параграф Следующий параграф >>
Макеты страниц

§ 3.2. Характеристические функции

3.2.1. Определение. Характеристическая функция сл. в. У определяется как математическое ожидание (среднее значение) функции где принимает любые действительные значения. Для сл. угла О такое определение имеет смысл лишь тогда, когда функция периодична по с периодом т. е. при целочисленных значениях (см. определение среднего значения (3.1.8)). По этой причине характеристической функцией угла О называется последовательность

где любое целое число.

Таким образом, в случае распределения вероятностей на окружности представляет собой последовательность тригонометрических моментов, вычисленных относительно нулевого начального направления При этом, очевидно, и сопряженное значение (обозначим его равно т. е. .

X. ф. сл. угла можно представить формулой

где

причем

Если угол, фиксированное действительное число, то сумма является сл. углом, поскольку

представляет собой сл. в. Следовательно, х. ф. сл. угла есть

Совместная х. ф. сл. углов определяется формулой

где вектор с целочисленными компонентами, скалярное произведение векторов и -множество, определенное формулой (3.1.9).

3.2.2. Ряды Фурье — Стилтьеса. Нетрудно заметить, что значения пропорциональны коэффициентам ряда Фурье — Стилтьеса для (Зигмунд (1959)), т. е.

где символ означает, что связаны формулой (3.2.1). Отсюда, конечно, не следует, что этот ряд сходится. Однако, если ряд сходится, то распределение сл. угла О непрерывно и почти для всех значений представима в виде ряда, указанного в правой части (3.2.4). Доказательство такого представления (оно, очевидно, эквивалентно формуле обращения для х. ф. на прямой) приведено в п. 4.2.2. Это представление можно записать следующим образом:

Если равенство (3.2.5) справедливо, то ф. р. сл. угла выражается формулой

где и С — произвольная постоянная.

Существуют критерии справедливости представления (3.2.5), формулируемые в терминах п. р. в. . Например, если распределение непрерывно и п. р. в. имеет ограниченную вариацию, то согласно критерию Жордана (Титчмарш (1951), стр. 453) представление (3.2.5), связывающее имеет место при условии, что

По критерию Дирихле (Титчмарш (1951), стр. 454) это же представление справедливо, если имеет лишь конечное число максимумов и минимумов и конечное число разрывов на полуинтервале

3.2.3. Суммирование независимых случайных углов и свертка распределений слагаемых. Согласно определению, данному в п. 3.2.1, совместная х. ф. сл. углов выражается формулой

причем из (3.1.6) следует, что эти сл. углы независимы тогда и только тогда, когда

где маргинального распределения сл. угла

Сумма независимых сл. углов

представляет собой сл. угол, х. ф. которого есть

В случае одинаково распределенных независимых слагаемых х. ф. суммы равна где одного слагаемого. Еслтгряд сходится, то сумма распределена непрерывно, и ее п. р. в. выражается формулой

Распределение вероятностей суммы независимых сл. углов называется сверткой распределений слагаемых. Функция распределения дробной части может быть выражена в терминах функций распределения дробных частей слагаемых, однако соответствующая формула слишком громоздка, и поэтому удобнее искать выражение для ф. р. сл. угла в терминах ф. р. сл. углов

Рассмотрим подробнее случай т. е. рассмотрим Пусть углов соответственно предполагаются независимыми) и пусть действительные числа, удовлетворяющие неравенствам Задача заключается в том, чтобы

вероятность события

выразить в терминах

Прежде всего заметим, что интересующую нас вероятность можно вычислить с помощью осреднения условной вероятности указанного события при заданном значении сл. угла

Действительно, в силу независимости углов

Следовательно, эта условная вероятность — ограниченная периодическая функция от с периодом и значит, она является случайной величиной, для которой математическое ожидание существует (см. определение (3.1.8)). Таким образом, при любом целом

Но, с другой стороны,

Поэтому, сравнивая две последние разности, убеждаемся, что

причем, поскольку сл. углы равноправны, то справедлива и вторая формула

где произвольные постоянные.

Если один из сл. углов (например, распределен непрерывно, то сумма также распределена непрерывно и ее п. р. в.

Если же непрерывно распределены оба сл. угла, то п. р. в. их суммы выражается интегралами

где углов соответственно.

Интересно отметить, что если один из двух независимых сл. углов распределен равномерно, то их сумма также подчиняется равномерному распределению (см. п. 3.4.4).

В §§ 4.2 и 4.3 будут рассмотрены некоторые другие свойства х. ф., включая теорему единственности и предельную теорему для х. ф. последовательности сл. углов.

<< Предыдущий параграф Следующий параграф >>
Оглавление