Главная > Разное > Статистический анализ угловых наблюдений
<< Предыдущий параграф
Следующий параграф >>
<< Предыдущий параграф Следующий параграф >>
Макеты страниц

§ 3.3. Моменты и характеристики расположения и рассеяния

3.3.1. Тригонометрические моменты. В этом пункте будут рассмотрены числовые характеристики распределений на окружности, соответствующие выборочным характеристикам, обсуждавшимся во второй главе.

Как было установлено в п. 3.2.1, последовательность тригонометрических моментов угла есть его х. ф., причем

В отличие от распределений на прямой, распределение на окружности всегда однозначно определяется своими моментами. До сих пор речь шла о тригонометрических моментах

относительно нулевого начального направления, заданного углом и поэтому следовало бы писать Тригонометрический момент порядка вычисленный относительно направления, заданного углом выражается формулой

причем, очевидно, справедливы следующие соотношения:

Если то тригонометрические моменты, вычисленные относительно такого начального направления, называются центральными. При этом согласно (3.3.2) и (3.3.3)

где Отсюда, в частности, следует, что

Рассматривая неравенство

справедливое при всех действительных нетрудно убедиться, что

3.3.2. Круговое среднее направление и круговая дисперсия случайного угла. Круговым средним значением или круговым средним направлением сл. угла для которого называют угол Иными словами, где полярный угол, соответствующий комплексному числу При этом, очевидно, Величину называют результирующей длиной (или длиной вектора, представляющего собой математическое ожидание сл. вектора Если то круговое среднее значение в полуинтервале не определяется однозначно.

По аналогии с характеристикой, рассмотренной в п. 2.3.1, отклонение сл. угла от фиксированного угла естественно характеризовать величиной

Если

Таким образом, минимальное значение достигается при и равно Величину

называют круговой дисперсией сл. угла О. Очевидно,

Так как при любом действительном то круговое среднее значение сл. угла сравнимо с по модулю а характеристики рассеяния инвариантны относительно изменения начала отсчета углов. При условимся говорить, что сл. угол имеет максимальный разброс.

В следующем пункте будет показано, что тогда и только тогда, когда

3.3.3. Аналог неравенства Чебышева. При аналогом неравенства Чебышева для сл. угла естественно называть неравенство Чебышева для

Практически более удобна другая, эквивалентная форма этого неравенства:

Из последнего неравенства, в частности, следует, что если то для всех

Поэтому, устремляя к бесконечности, убеждаемся, что

Наоборот, если справедливо последнее равенство, то с вероятностью, равной единице, а поэтому

С другими неравенствами для сл. углов можно ознакомиться по работе Маршалла и Олкина (1961).

3.3.4. Круговая медиана и круговое среднее отклонение. По аналогии с медианой непрерывного распределения на прямой естественно назвать круговой медианой непрерывного распределения на окружности какое-либо из решений уравнения

левая часть которого определяется равенством

Функция (3.3.7) непрерывна, причем согласно (3.1.1)

поэтому и неравенство обращается в равенство тогда и только тогда, когда Следовательно, решение уравнения (3.3.6) на отрезке существует, причем согласно и также является решением. Иными словами, в полуинтервале уравнение (3.3.6) имеет не менее двух решений.

Условимся в дальнейшем называть круговой медианой то из решений уравнения (3.3.6), которое принадлежит полуинтервалу и для которого значение мак симально.

Разумеется, в случае многовершинных распределений на окружности последнее условие может оказаться неудовлетворительным, и в ряде случаев максимизацию — приходится заменять другими условиями (например, можно минимизировать какую-либо подходящую характеристику отклонений сл. угла от Однако в случае одновершинных распределений сформулированное определение всегда приводит к разумному результату. Напомним, что непрерывное распределение на окружности называется одновершинным, если в полуинтервале существуют две такие точки (случай не исключается), что при движении точки по окружности от точки к точке в обоих возможных направлениях производная ведет себя как монотонно неубывающая функция (при этом, конечно, рассматриваются лишь те значения 0, для которых определена). Тогда называется модой, а точка антимодой (в этих точках производная может и не существовать).

Без ограничения общности в нижеследующей теореме условимся считать, что поскольку такие соотношения выполняются либо для распределения сл. угла либо для распределения сл. угла Таким образом, монотонно невозрастающая функция почти всюду на отрезке и монотонно неубывающая функция почти зсюду отрезке

Теорема. Если непрерывное распределение на окружности, заданное п. р. в. , одновершинно, причем

то круговая медиана в полуинтервале определяется однозначно.

Доказательство. Прежде всего заметим, что -периодическая функция с периодом Если будет установлено, что в случае одновершинного распределения, удовлетворяющего условию (3.3.9), существуют лишь два решения и уравнения (3.3.6) в полуинтервале то

Поскольку равенство невозможно (в силу (3.3.8) оно означало бы, что в полуинтервале имеется третье решение уравнения (3.3.6), отличное от то мы можем заключить, что круговая медиана непрерывного одновершинного распределения, удовлетворяющего условию (3.3.9), определяется однозначно.

Итак, нам нужно доказать, что уравнение (3.3.6) в полуинтервале имеет лишь два решения

Но согласно (3.3.7) производная для почти всех из полуинтервала причем в силу условия монотонности множество тех 0, для которых односвязно и отлично от пустого множества. Более точно, для всех из отрезка

Таким образом, строго возрастает на интервале и, в силу (3.3.8), строго убывает на интервалах Следовательно, может принять значение (как, впрочем, и всякое другое) не более чем в двух точках. Теорема доказана.

Условие этой теоремы необходимо, как показывает следующий пример. Пусть

где индикатор множества А. Как легко видеть, распределение с такой плотностью хоть и является одновершинным при любом 1, однако не обладает однозначно определенной круговой медианой.

Круговое среднее отклонение и его минимизация. Круговое среднее отклонение угла от фиксированного угла определяется как математическое ожидание сл. в.

Таким образом,

откуда, после интегрирования по частям и несложных преобразований, с учетом формулы (3.3.7) получаем

Если распределение сл. угла непрерывно, то функция (3.3.12) имеет непрерывную первую производную, которая в силу (3.3.8) выражается формулой

и значит, стационарные точки функции представляют собой решения уравнения (3.3.6). Иными словами, круговая медиана принадлежит множеству стационарных точек кругового среднего отклонения.

В частности, если непрерывное распределение сл. угла одновершинно и удовлетворяет условию (3.3.9), то, как следует из доказательства предыдущей теоремы, в полуинтервале существуют две и только две стационарные точки причем непрерывная функция одновершинна.

Поэтому, если то — точка минимума функции если же то точкой минимума является Таким образом, в случае одновершинного распределения круговое среднее отклонение достигает минимума в точке являющейся круговой медианой. Иными словами, если бы мы изменили определение и объявили круговой медианой то из решений уравнения (3.3.6), для которого круговое среднее отклонение минимально, то в случае одновершинных распределений, удовлетворяющих условию (3.3.9), мы пришли бы к тому же результату, что и раньше.

Предположим теперь, что производная непрерывна, и пусть решение уравнения (3.3.6). Согласно (3.3.13), для того чтобы I было точкой локального минимума функции

достаточно выполнения неравенства По этой причине в случае непрерывности иногда круговой медианой называют то из решений уравнения (3.3.6), для которого значение максимально. В случае многовершинных распределений это определение может привести к недоразумениям. Действительно, пусть при а в остальных точках окружности пусть В таком случае решениями уравнения (3.3.6) являются все те для которых

Поскольку в данном случае для всех указанных значений 5 справедливо равенство то определение круговой медианы, основанное на максимизации приводит к выводу, что любое из указанных круговая медиана.

Легко можно убедиться, что в рассмотренном примере

Поэтому определение круговой медианы, основанное на минимизации приводит к выводу, что круговыми медианами являются лишь те для которых Наконец, если мы применим определение, использованное при доказательстве теоремы, то должны будем заключить, что круговой медианой является единственное значение Если мало, то последние два вывода дают практически одинаковые результаты и указывают в качестве круговой медианы те точки на окружности, около которых распределение вероятностей концентрируется, в некотором смысле, наиболее тесно. Первое же заключение этим свойством не обладает (трудно, например, придать смысл утверждению, что в рассмотренном примере распределение концентрируется около

В заключение сделаем несколько замечаний относительно тригонометрических моментов. Если распределение сл. угла О симметрично и одновершинно, то круговое среднее направление, медиана и мода совпадают (точнее, они сравнимы по модулю а центральные синус-моменты (см. п. 3.3.1) равны нулю:

Следовательно, разложение Фурье для в этом случае упрощается, и при формула (3.2.5) принимает вид

Упрощается и неравенство для центральных тригонометрических моментов, приведенное в п. 3.3.1. Оно теперь запишется как

<< Предыдущий параграф Следующий параграф >>
Оглавление